2022-2023学年度第二学期高三第一次模拟试卷
数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集U=R，集合A={x|-2
=60∘，则=( )
A. 45∘ B. 60∘ C. 120∘ D. 135∘
4. 重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”，它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度.其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同):“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物;“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香;“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物(足够量)，其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物(不考虑位置)，则有多少种不同放法( )
A. 108 B. 36 C. 9 D. 6
5. 已知f(x)=ex-2,x<4,log5(x-1),x⩾4,，则f(f(26))等于 ( )
A. 15 B. 1e C. 1 D. 2
6. 已知函数fx=sin2x+φ0<φ<π2的图象向左平移π6个单位长度后，图象关于y轴对称，设函数fx的最小正周期为m，极大值点为n，则m-n的最小值是 ( )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π3
7. 已知A，B是圆C:x2+y2-4y=0上的两点，过点A，B的两条切线与直线x=4三线共点，则直线AB必过定点 ( )
A. 1,2 B. 2,1 C. 1,1 D. 1,12
8. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=f(1+x)，当-1≤x≤0时，f(x)=-x2+1 ，若函数g(x)=f(x)-k(x+2)，(k>0)有3个不同的零点，则k的取值范围是．( )
A. (8-215,4-23) B. (15,23)
C. (8-215,23) D. (15,4-23)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知Sn为数列{an}的前n项之和，且满足4Sn=an2+2an，则下列说法正确的是 ( )
A. {an}为等差数列 B. 若{an}为等差数列，则公差为2
C. {an}可能为等比数列 D. S4的最小值为0，最大值为20
10. 下列结论中，正确的结论有 ( )
A. 如果x<0，那么y=x+1x的最小值是2
B. 如果x>0，y>0，x+3y+xy=9，那么xy的最大值为3
C. 函数f(x)=x2+5x2+4的最小值为2
D. 如果a>0，b>0，且1a+1+11+b=1，那么a+b的最小值为2
11. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，点E为棱B1C1上任意一点，则下列结论正确的是( )
A. 直线AA1与直线BE所成角的范围是[0,π4]
B. 在棱B1C1上存在一点E，使AB1⊥平面A1BE
C. 若E为棱B1C1的中点，则平面ABE截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面积为31916
D. 若F为棱A1B1上的动点，则三棱锥F-ABE体积的最大值为16
12. 已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y=3x，且F1到l的距离为33，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为∠F1PF2的平分线.则下列正确的是 ( )
A. 双曲线的方程为x29-y227=1
B. |PF1|=3|PF2|
C. |OP|=36
D. 点P到x轴的距离为3152
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校25的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为14，而接种了疫苗的感染率为110.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为 ．
14. 已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)=ex-1，则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为 ．
15. 正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 ．
16. 已知椭圆方程为x22+y2=1，且椭圆内有一条以点P1,12为中点的弦AB，则弦AB所在的直线l的方程是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10分)全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且(c-a)(c+a)+abcosC=233S.
(1)求角A的大小；
(2)若4cosB⋅cosC=1，且a=23，求S的值．
18. (本小题12分)
已知数列{an}满足anan+2=an+12，a1=3，a2a3=243．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=log3an，数列{bn}的前n项和为Sn，求1S1+1S2+…+1Sn．
19. (本小题12分)
某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间，为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，……，第八组[130,140].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
(2)估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数；
(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，记这2名学生的分数差的绝对值大于10分的概率．
20. (本小题12.分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，AB=AC=AA1=2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．
(1)证明：A1C⊥BC1；
(2)在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ //平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．
21. (本小题12分)
已知抛物线y2=43x的准线过椭圆E的左焦点，且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形．
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线y=12交椭圆E于A，B两点，点P在线段AB上移动，连接OP交椭圆于M，N两点，过P作MN的垂线交x轴于Q，求△MNQ面积的最小值．
22. (本小题12分)
已知函数f(x)=axlnx和g(x)=b(x-x)(b>0)有相同的最小值．
(1)求a+1b的最小值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x)，方程h(x)=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：12=60∘，∴2·ac·12+ac·cosa,c=0．
由题意可知a，b，c均为非零向量，则cosa,c=-22，则⟨a→,c→⟩=3π4．
4.C 【解析】根据题意，分2步：
①从3种适合放入十字格的食物中，选一种放两个十字格，有C31=3种，
②2种适合放入四角格，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法;
则一共可以有3×3=9种不同放法；故选：C．
5.C 【解析】已知f(x)=ex-2,x<4,log5(x-1),x⩾4,,
则f26=log526-1=2，
所以f[f(26)]=f2=e2-2=1．故选C．
6.A 【解析】函数fx=sin2x+φ0<φ<π2的图象向左平移π6个单位长度后得函数解析式为g(x)=sin2x+π6+φ=sin2x+π3+φ，它的图象关于y轴对称，
则π3+φ=kπ+π2，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6，
∴f(x)=sin2x+π6，最小正周期为m=2π2=π，
极大值点为2x+π6=2kπ+π2，k∈Z
x=kπ+π6,k∈Z，与π最接近的极大值点是7π6，
∴m-n的最小值是π6．故选A．
7.A 【解析】圆C:x2+y2-4y=0的方程可化为C:x2+(y-2)2=4，所以圆心C(0,2)．
设两条切线的交点为P4,m，则以PC为直径的圆的圆心为(2,m+22)，
设以PC为直径的圆的半径为r，
则r=PC2=42+(m-2)22=16+(m-2)22．
所以以PC为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-m+22)2=16+(m-2)24．
∵过点P4,m作圆C:x2+y2-4y=0的切点分别为A，B，
∴两圆的交点为A，B，即两圆的公共弦为AB．
将两圆的方程相减可得直线AB的方程为4x+(m-2)y-2m=0，
即m(y-2)+(4x-2y)=0.令y-2=04x-2y=0得x=1y=2．
所以直线AB必过定点1,2．故选：A．
8.A 【解析】由f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=f(1+x)，
可得f(x+2)=f(-x)=f(x)，所以函数的周期是2．
当-1≤x≤0时，f(x)=-x2+1 ，所以当0⩽x⩽1时，fx=f-x=-x2+1，
即当-1⩽x⩽1时，f(x)=-x2+1 ，当1⩽x⩽3时，fx=fx-2=-x-22+1，
画出函数f(x)的图象如下图所示：
函数g(x)=f(x)-k(x+2)，(k>0)有3个不同的零点，
则函数f(x)与直线y=k(x+2)，(k>0)有3个交点，
当直线y=k(x+2)，(k>0)与f(x)=-x2+1(-1⩽x⩽1)相切时，
由k(x+2)=-x2+1可得x2+kx+2k-1=0，
Δ=k2-42k-1=0，解得k=4-23或k=4+23(舍)，
当直线y=k(x+2)，(k>0)与fx=-x-22+1(1⩽x⩽3)相切时，
由k(x+2)=-x-22+1可得x2+k-4x+2k+3=0，
则Δ=k-42-42k+3=0，解得k=8-215或k=8+215(舍)，
结合函数图象可知，当8-2150)有3个交点，所以k的取值范围是(8-215,4-23).故答案为A．
9.BCD 【解析】4a1=4S1=a12+2a1,a1=2或0，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
∴4an