辽宁省阜新市阜蒙县第二高级中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省阜新市阜蒙县第二高级中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. i是虚数单位，复数的虚部为（　　） 　 A． 2 B． ﹣1 C． 1 D． ﹣2 参考答案： B 2. 若则过可以做两条直线与圆相切的概率为  A.             B.               C.             D. 参考答案： B 3. 过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶  点为M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（    ） A．（，＋∞）     B．（1，）      C．（2，＋∞）     D．（1，2） 参考答案： C 4. ，，则与的大小关系为  （    ） A.      B.           C.        D. 参考答案： D ，因为，，所以，，所以，所以，选D. 5. 某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ 　  ） A．     B．6     C．4 D． 参考答案： A 略 6. 已知奇函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域   为，则不等式的解集是（     ） A．            B．  C．                                     D． 参考答案： B 7. 把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为(     ) A．x=0 B．x= C．x=﹣ D．x= 参考答案： B 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论． 解答： 解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象， 令x=，求得y=sin（2x+）=1，是最大值，可得所得函数图象的一条对称轴为x=， 故选：B． 点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 8. 设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若∥，且，则； ②若∥，且∥，则∥； ③若∩∩∩，则∥∥； ④若∩∩∩，且∥，则∥. 其中正确命题的个数是(    ) A．1        B．2 C．3       D．4 参考答案： B 9. 若，是第二象限的角，则的值为          （    ）   A.             B.                C.            D. 参考答案： B 略 10. 设变量、满足线性约束条件，则目标函数的最小值为 A.       B.       C.       D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式的展开式中的常数项为             ． 参考答案： 略 12. 已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为　    　． 参考答案： 2 【考点】基本不等式；对数的运算性质． 【分析】由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值． 【解答】解：∵log2x+log2y=1， ∴log2（xy）=1， ∴xy=2，其中x＞0，y＞0； ∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立； ∴x+y的最小值为． 故答案为：2． 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，C，分别以△ABC的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为          ． 参考答案： 试题分析：分别作轴，轴，为垂足.因为是正方形，所以又因为所以所以同理可得所以直线的斜率为，由直线方程的点斜式得，化简得. 考点：1.直线方程；2.直线的斜率. 14. 设椭圆的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为          参考答案： 15. 设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为　  　． 参考答案： 3 【考点】点到直线的距离公式． 【专题】直线与圆． 【分析】由距离公式可得m2+n2=，面积为S=?||=，由基本不等式可得答案． 【解答】解：由坐标原点O到直线l的距离为， 可得==，化简可得m2+n2=， 令x=0，可得y=，令y=0，可得x=， 故△AOB的面积S=?||=≥=3， 当且仅当|m|=|n|=时，取等号， 故答案为：3 【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题． 16. 如图,在直角梯形中，，,，.点是直角梯形内任意一点.若，则点所在区域的面积是          . 参考答案：   17. 已知函数是奇函数，则的值是____________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，试求的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵， ∴（2a+c）accosB+cabcosC=0， 即（2a+c）cosB+bcosC=0， 则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 ∴2sinAcosB+sin（C+B）=0， 即， B是三角形的一个内角， ∴ （Ⅱ）∵， ∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4 ∴=， 即的最小值为﹣2 略 19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2A+1=4sin（+A）?sin（﹣A） （Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a=，且b≥a，求b﹣c的取值范围． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，2π），可求A的值． （Ⅱ）利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得b﹣c=2sin（B﹣），结合范围0≤B﹣＜，利用正弦函数的性质即可得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵cos2A+1=4sin（+A）?sin（﹣A）=2sin（﹣2A）， ∴cos2A+1=2sin（﹣2A）=cos2A+sin2A，可得：sin2A=1， ∵A∈（0，π），2A∈（0，2π）， ∴2A=，可得：A=．…6分 （Ⅱ）∵A=，a=， ∴由=2，得b=2sinB，c=2sinC， ∴b﹣c=2sinB﹣2sinC=2sinB﹣2sin（﹣B）=2sin（B﹣）． ∵b≥a， ∴≤B＜，即0≤B﹣＜， ∴b﹣c=2sin（B﹣）∈[0，2）．…12分 　 20. 已知函数． （1）若函数在和处取得极值，求a，b的值； （2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求c的取值范围． 参考答案： （1）；（2）． （1）∵，∴． 又函数在和处取得极值， ∴和是方程的两根， ∴，解得． 经检验得，符合题意，∴，． （2）由（1）得， ∴当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，，∴． ∵当时，恒成立，∴，解得， ∴实数的取值范围为． 21. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若边上的高等于，求的值. 参考答案： （Ⅰ）因为， 由正弦定理得， .……………2分 因为，所以. 即.……………4分 因为，所以.……………5分 因为，所以.  因为，所以.……………6分 （Ⅱ）设边上的高线为，则.……………7分 因为，则，.……………9分 所以，.……………10分 由余弦定理得.所以的值为.…12分 22. 某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元； 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价   （1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 参考答案： （1）（2）方案二更为划算 【分析】 （1）设事件为“顾客获得半价”，可以求出，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的概率； （2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额元的可能取值，求出，最后进行比较得出结论. 【详解】（1）设事件为“顾客获得半价”，则， 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：． （2）若选择方案一，则付款金额为． 若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为． ， ， ， ， ∴． 所以方案二更为划算． 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.