辽宁省沈阳市大南第二高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省沈阳市大南第二高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A． B． C．       D．   参考答案： D 2. A.           B.         C.         D.  参考答案： C 3. 已知集合，，则A∩B=（    ） A．{3} B．{1,2}   C．{2,3} D．{1,2,3} 参考答案： D 由题意，集合，，所以，故选D. 4. 在区间（0，1）上任取两个数x，y，则事件“x+y<"发生的概率是  A． B． C． D． 参考答案： D 5. 某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知时至时的销售额为90万元，则10时至12时销售为（    ） A．120万元    B．100万元    C．80万元    D．60万元    参考答案： D 该商场11月11日8时至22时的总销售额为万元，所以10时至12时的销售额为万元，故选D． 6. 设点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F1，F2分别是其左右焦点，O为中心，，则此椭圆的离心率为（    ） A．             B．           C.              D． 参考答案： C 7. 圆与圆的位置关系为    (A)内切　　(B)相交　　(C)外切　　(D)相离 参考答案： B 8. 已知全集为，集合，那么集合等于 A.    B.     C.   D. 参考答案： C 略 9. 已知函数，且， 的导函数，函数的图象如图所示．则 平面区域所围成的面积是（    ） A、2               B、3               C、4               D、5 参考答案： C 略 10. 等差数列的前项和为，若，, 则等于（    ） A．152             B．154      C．156             D．158   参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数满足则的最小值为            . 参考答案： 12. 计算：__________ 参考答案： 3 13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为      参考答案： 略 14. 在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为__________． 参考答案： 由题意，直线所围成的区域为一个长为，高为的矩形，所以其的面积为， 又由，解得， 所以由所围成的区域的面积为 ， 所以概率为. 15. 将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为　    　． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】4人分成两组，通过讨论每2人一组以及一组一人，一组3人的情况即可求出结论． 【解答】解：4人分成两组，若一组2人， 则有=3种分法， 若一组一人，一组3人， 则有=4种分法， ∴甲、乙分别同一组的概率为+=． 故答案为：． 【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，本题是一道中档题． 16. 已知函数（>0, ）的图象如右图所示，则=        .          参考答案： 【知识点】三角函数的图像和性质  C3 由图像可得，，所以，，因为，所以，故答案为. 【思路点拨】根据图像可得函数的正确为，根据周期公式可得，因为在处取得最小值，所以，可求得结果. 17. 已知A（1，0），B（0，1）在直线mx+y+m=0的两侧，则m的取值范围是　　． 参考答案： ﹣1＜m＜0 【考点】直线的斜率． 【分析】将点A（1，0），B（0，1）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可． 【解答】解：将点A（1，0），B（0，1）的坐标代入直线方程， 可得两个代数式， ∵在直线mx+y+m=0的两侧， ∴（m+m）（1+m）＜0 解得﹣1＜m＜0， 故答案为﹣1＜m＜0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为．    1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28 （1）求使得的最小的取值； （2）试推导关于、的解析式； （3）是否存在这样的“边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）9;（2）（3）存在;满足题意的数列为“三角形数列”. 试题分析：（1）由题意可得,归纳可得,由累加法可得.解可得的范围.从而可得其最小值.（2）设边形数列所对应的图形中第层的点数为，则.从图中可以得出：后一层的点在条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以， .从而可得.（3）由(2)可得“边形数列”，它的任意连续两项的和为.显然可得.同时因为完全平方只有一个根,所以上式的判别式必为0,也可求得. 试题解析：（1）                           …3分      由题意得,      所以，最小的.                                            …5分    （3）                       …14分      显然满足题意，                                          …15分      而结论要对于任意的正整数都成立，则的判别式必须为零     所以，得                                  故满足题意的数列为“三角形数列”.                             …18分 考点：1归纳推理;2等差数列的通项公式,前项和. 19. 如图，椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A、B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴． (1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)证明：直线AM经过线段EF的中点． 参考答案： (1) 直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－；(2)见证明 【分析】 （1）直线l与x轴垂直，可得直线l的方程，从而求解出点的坐标，由BM∥x轴可得点坐标，从而得出直线AM的方程； （2）要证直线AM经过线段EF的中点，即证A，N，M三点共线，即证，设出两点，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理从而得证. 【详解】解：(1)由c＝ ＝1， ∴F(1，0)， ∵直线l与x轴垂直， ∴x＝1， 由， 解得： 故当点坐标为， 则点坐标为， 此时直线AM的斜率为， 直线AM的方程为， ∴直线AM的方程为y＝－x＋； 当点坐标为， 则点坐标为， 此时直线AM的斜率为， 直线AM的方程为， ∴直线AM的方程为y＝x－； 故直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－； (2)当直线方程为时， 直线BM与x轴重合，不满足题意； 故可设直线l的方程为x＝my＋1， 由， 得3(my＋1)2＋4y2＝12， (3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由韦达定理可得， y1＋y2＝，y1y2＝ ∵EF的中点N ，点M(4，y2)， ∴ ＝ ×y2－y1＝my1y2－ (y1＋y2)＝－×＝0. 所以， 故A，N，M三点共线， 所以直线AM经过线段EF的中点. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助韦达定理，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题. 20. （本小题满分12分)已知函数. （Ⅰ）若函数在点处的切线与轴平行，求的值； （Ⅱ）若函数为上的单调递增函数，试求的取值范围. 参考答案： （Ⅰ） （Ⅱ）由题意恒成立………………7分 因为，所以，令，则， 由得，时，时. ,；…………… 10分 综上，若函数为R上的单调递增函数，则.………………12分 21. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有2个白球、2个蓝球和2个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是，若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】（Ⅰ）根据概率公式求出a的值即可； （Ⅱ）根据条件概率公式分别计算，比较即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据随机事件的概率公式，，解得a=2． （Ⅱ）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，试验的全部结果构成的区域为圆盘， 面积为πr2（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为． 故由几何概型，得． 设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B， 记2个白球为白1，白2；2个红球为红1、红2；2个蓝球为蓝1、蓝2． 则从盒子中一次性摸出2球，一切可能的结果有： （白1、白2），（白1、红1）、（白1、红2），（白1、蓝1），（白1、蓝2）； （白2、红1），（白2、红2），（白2、蓝1），（白2、蓝2）； （红1、蓝1），（红1、蓝2），（红2、蓝1），（红2、蓝2）； （蓝1、蓝2）等共15种； 其中摸到的是2个相同颜色的球有（白1、白2），（红1、红2），（蓝1、蓝2）等共3种； 故由古典概型，得． 因为P（A）＞P（B），所以顾客在甲商场中奖的可能性大． 22. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60. (Ⅰ)证明：； （Ⅱ）求二面角A——B的大小。    参考答案： 解析:解答一（1）证： 三棱柱为直三棱柱， 在中，,由正弦定理 ,又 （2）解如图，作交于点D点，连结BD， 由三垂线定理知 为二面角的平面角 在 解答二（1）证三棱柱为直三棱柱， ，， 由正弦定理      如图，建立空间直角坐标系， 则  (2) 解，如图可取为平面的法向量 设平面的法向量为， 则 不妨取