福建省龙岩市下坝中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

福建省龙岩市下坝中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在⊿中，三内角的对边分别为，向量=, =,若，且，则的大小分别是(    ) A、  B、  C、    D、 参考答案： C 2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（  ） A. 6    B. 5     C. 8      D.7 参考答案： D 3. 已知两条直线和互相平行，则等于（      ）   A.1或-3         B.-1或3         C.1或3         D.-1或3 参考答案： A 因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A. 4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是 （A）                 （B） （C）           （D） 参考答案： D 5. 函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象 A.向右平移个单位长度     B.向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度    D.向右平移个单位长度 参考答案： D 6. 已知全集为,则 A. B. C. D.   参考答案： A 7. 若等差数列满足，，则的值是      （  ） A．20             B．24              C. 36            D．72 参考答案： B 略 8. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A．      B．       C．     D． 参考答案： A 略 9. 已知全集U=Z,集合A={–2,–1,1,2},B=,则CUB        A．{–2,–1}                 B．{2, 1}                   C．{–2, 1}                  D．{–1,2} 参考答案： A 略 10. 设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题： ①c=0时，f（x）是奇函数； ②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根； ③f（x）的图象关于（0，c）对称； ④方程f（x）=0至多两个实根． 其中正确的命题是（　　） A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 参考答案： C 考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性． 专题： 计算题；综合题． 分析： ①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=﹣3，c=2即可判断错误． 解答： 解：①c=0时，f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），故f（x）是奇函数，故①正确； ③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确； 取b=﹣1，c=0，则f（x）=x|x|﹣x=x（|x|﹣1）=0，x=0或x=±1，故④错误； b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=，函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确 故选C 点评： 本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，难度较大． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是          ． 参考答案： 12. 已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______.   参考答案： 略 13. 若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （1，2] 【考点】对数函数的单调性与特殊点． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有loga2≥1，由此求得a的范围． 【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞）， 故当x≤2时，满足f（x）≥4． 当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1， ∴1＜a≤2， 故答案为：（1，2]． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 14. 从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在[185,215]内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为          ． 参考答案： 0.79 这种指标值在内，则这项指标合格， 由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为， 所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为．   15. （文科）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=       ． （理科）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为         ． 参考答案： 文8；理。 【考点】极限及其运算；导数的几何意义；定积分． 【专题】计算题；数形结合法；导数的概念及应用． 【分析】（文科）先运用导数求切线的斜率，得到切线方程，再根据该直线与抛物线相切，由△=0解出a； （理科）先求出两曲线的交点，得到积分的上，下限，再用定积分求面积． 【解答】解：（文科）y'=1+=2，即切线的斜率为2， 根据点斜式，求得切线方程为y=2x﹣1， 该直线又与抛物线y=ax2+（a+2）x+1相切（a≠0）， 联立得，ax2+（a+2）x+1=2x﹣1， 整理得，ax2+ax+2=0， 由△=0解得a=8（舍a=0）， 故答案为：8． （理科）联立方程解得x=0或x=1， 两曲线围成的面积根据定积分得， S=x﹣==， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用，属于基础题． 16. 若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差        .   参考答案： 略 17. 设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的范围是            . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图1，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB，AC，AG形成如图2所示的几何体． (Ⅰ) 求证：BC⊥平面AFG； (Ⅱ) 求二面角B－AE－D的余弦值． 参考答案： （Ⅰ）证明：在图1中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点， 则DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC. 在图2中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG＝F，所以DE⊥平面AFG. 又DE∥BC，所以BC⊥平面AFG.                                   (Ⅱ)解：因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE＝DE，AF⊥DE， 所以，AF⊥平面BCDE   又因为DE⊥GF， 所以FA，FD，FG两两垂直． 以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.则 A(0，0，2)，B(，－3，0)，E(0，－2，0)， 所以＝(，－ 3，－2)，＝(－，1，0)． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 取x＝1，则y＝，z＝－1，则n＝(1，，－1)． 显然m＝(1，0，0)为平面ADE的一个法向量， 所以 cos〈m，n〉＝＝.  由图形可知二面角B－AE－D为钝角， 所以，二面角B－AE－D的余弦值为－.      19. (本小题满分12分) 设椭圆()的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.   参考答案： (Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，， ∴椭圆的方程可设为. 易求得，∴点在椭圆上，∴， 解得，∴椭圆的方程为.                 …………………………5分 (Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，， ，∴. 当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，， ∴，即. 联立直线和椭圆的方程得， ∴，得. ∵， ∴， ， ∴. 综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有. 在中，由与相似得，为定值.                                               …………………………12分     20. （本小题满分14分）已知函数（其中，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性； （Ⅱ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明． 参考答案： （Ⅱ）函数有两个极值点，，则，是的两个根， 21. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若时不等式成立，求实数a的取值范围． 参考答案： （1）或；（2）空集. 【分析】 （1）通过零点法，分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集． （2）当时，，化简，由得，即，推出结果即可． 【详解】解：（1）不等式，即. 可得，或或， 解得或，所以不等式的解集为. （2）当时，，所以， 由得，即， 则，该不等式无解， 所以实数的取值范围是空集（或者）. 【点睛】本题考查不等式的解法，恒成立条件的转化，考查计算能力． 22. (本小题满分12分) 如图，在几何体ABCDE中，DA平面EAB,EA⊥AB ，CB∥DA，F为DA上的点，EA=DA=AB=2CB，M是EC的中点，N为BE的中点． (1)若AF=3FD，求证：FN∥平面MBD； (2)若EA=2，求三棱锥M—ABC的体积． 参考答案： 解: （I）证明：连接,因分别是，的中点， 且,又,, 又，即,，四边形为平行四边形，…3分 又平面，平面 所以平面.                                             ……6分 (Ⅱ)连接AN，MN，则 ,所以， 又在中，,                                         ……8分                                         ， 所以三棱锥的体积为.                                   ……12分