福建省福州市东张中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

福建省福州市东张中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 函数和函数互为反函数图像关于对称。则只有直线与直线垂 2. 若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为(     ) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞） 参考答案： A 考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法． 专题：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：不等式f（x）＞+1可化为exf（x）﹣ex﹣3＞0；令F（x）=exf（x）﹣ex﹣3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解． 解答： 解：不等式f（x）＞+1可化为 exf（x）﹣ex﹣3＞0； 令F（x）=exf（x）﹣ex﹣3， 则F′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex =ex（f（x）+f′（x）﹣1）； ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴ex（f（x）+f′（x）﹣1）＞0； 故F（x）=exf（x）﹣ex﹣3在R上是增函数， 又∵F（0）=1×4﹣1﹣3=0； 故当x＞0时，F（x）＞F（0）=0； 故exf（x）﹣ex﹣3＞0的解集为（0，+∞）； 即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）； 故选A． 点评：本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题． 3. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?UB=（　　） A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可； 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}， ∴?UB={2，5，8}， 则A∩?UB={2，5}． 故选：A． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4. 已知等差数列中，，那么（   ） （A）     （B）    （C）   （D） 参考答案： D 略 5. 等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为（   ） A. 3    B. 3或4    C. 4或5    D. 5 参考答案： B 6. 已知点P（x,y）在线性区域内，则点P到点A（4,3）的最短距离为（ ） A 3           B 4             C 5             D 参考答案： D 略 7. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为    （    ） A.                B.                C.                 D. 参考答案： C 8. （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C． D． 参考答案： C 【考点】函数恒成立问题． 【分析】先根据题中条件：“（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立”，结合二次函数的性质，得到解答． 【解答】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立， 即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立 若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a． 故选C． 9. 直线:kx-y-3=0和:x+(2k+3)y-2=0互相垂直，则k=   (    ) A. -3 B. -2        C. -或-1      D. 或1 参考答案： A 直线的斜率为，直线的斜率为，由，解得，选A. 10. 下列函数中，既是奇函数，又在区间-1，1上单调递减的是  (     ） A．                       B． C．                 D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 经过点且与圆相切的直线l的方程是____________. 参考答案： 【分析】 设直线方程为，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案. 【详解】依题满足条件的直线斜率存在， 设直线方程为：即. 又的圆心为，半径为, 又直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 所以，解之得： 所以直线的方程为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题. 12. 如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要           小时到达B处。 参考答案： 13. 已知函数，则不等式的解集为                    . 参考答案： 14. 在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为      ． 参考答案： 或． 考点：点与圆的位置关系，圆心到弦的距离． 15. 设函数则时x的取值范围是________． 参考答案： 综上得，的取值范围为：. 16. 函数在定义域内的零点的个数为            参考答案： 2个 17. 若正数满足,则的最大值为             ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0； (2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R. 参考答案： (1)由根与系数的关系解得a＝3. 所以不等式变为2x2－x－3＞0，解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)． (2)由题意知，3x2＋bx＋3≥0的解集为R， Δ＝b2－4×3×3≤0，解得b的取值范围是[－6,6]． 19. （本题满分12分）已知向量 （1）求的最小正周期和最大值； （2）在分别是角A、B、C的对边，且，求角C。 参考答案： （1）f（x）==2cos2x+sin2x=2sin（2x+ ）+1．∴周期T=π，最大值为 2+1=3． （2）根据f（A）=2，可得 sin（2A+ ）=，∴2A+=，A=． 由正弦定理可得 ，sinB=，∴B=．再根据三角形内角和公式可得C=． 20. 已知，. （1）若，求不等式的解集； （2）若时，的解集为空集，求a的取值范围. 参考答案： (1)当时，化为 ，                …………1分 当，不等式化为，解得或， 故；…………2分 当时，不等式化为，解得或， 故；    …………3分 当，不等式化为，解得或 故；   …………4分 所以解集为或． …………5分 (2) 由题意可知，即为时，恒成立． …………6分 当时，，得；…………8分 当时，，得， 综上，．…………10分 21. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值； （3）在（2）的条件下，证明： 参考答案： 解：（1）由题意，由得 当时, ；当时，. ∴在单调递减，在单调递增. ……………………3分 即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为 …………4分 （2）对任意的恒成立，即在上，. 由（1），设，所以. 由得. 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴  在处取得最大值，而. 因此的解为，∴. ………………8分 （3）由（2）知，对任意实数均有，即. 令 ，则. ∴ .……………………………………………………………………10分 ∴ . 略 22. （本小题满分14分） 设函数  （1）当时，求函数的单调区间； （2）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为C，直线AB的斜率为. 证明：； （3）设，对任意，都有 ，求实数的取值范围. 参考答案： （1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析；（3）。 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；导数在最大值、最小值问题中的应用．B11 B12 解析：（1）当时，，定义域为   …………………………………………………………2分 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为……………… 4分 （2）证明：，……………………………………………………5分 又，所以，………………………………6分 要证,即证， 不妨设，即证,即证， 设，即证：,  ……………………………………………7分 也就是要证：，其中， 事实上：设， 则， 所以在上单调递增，因此，即结论成立.  …………………9分 （3）由题意得，即， 若设，则在上单调递减，……………………………………10分 ①当时，， ， 在恒成立， 设，则， 当时， 在上单调递增，， ………………………………………………………………………………………12分 ②当时，， ， 在恒成立， 设，， 即在单调递增，故， ， 综上所述：.  …………………………………………………………………………14分 【思路点拨】（1）由题意先把f（x）的解析式具体，然后求其导函数，令导函数大于0，解出的即为函数的增区间；（2）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小；（3）因为由题意得，即，先写出的解析式，利用该函数的单调性把问题转化为恒成立问题进行求解．