福建省泉州市马甲中学高三数学理模拟试题含解析

福建省泉州市马甲中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知曲线f（x）=ax﹣1+1（a＞1）恒过定点A，点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．5 C．2 D．2 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求出A的坐标，利用点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，得出=2，即可求出双曲线C的离心率． 【解答】解：曲线f（x）=ax﹣1+1（a＞1）恒过定点A（1，2）， ∵点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上， ∴=2， ∴b=2a，c=a， ∴e==， 故选A． 【点评】本题考查函数过定点，考查双曲线的方程与性质，确定A的坐标是关键． 2. 定义域为上的奇函数满足，且，则（   ） A．2         B．1       C.-1         D．-2 参考答案： C 3. 某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为(    ) A. 8 B. 12 C. D. 20 参考答案： B 【分析】 由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积. 【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2， 设四棱锥的高为，则依题意有 所以，所以侧面的高为 所以四棱锥的侧面积， 所以该四棱锥的表面积为：. 故选：B 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，锥体体积公式应用，表面积的求法，属于基础题. 4. 已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是(     ) A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0） 参考答案： B 考点：函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，即＜在[1，e]上有解，令h（x）=，则h′（x）=，然后求出h（x）的最大值，利用＜h（x）max能求出m的取值范围． 解答：解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解， ∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解， 令h（x）=，则h′（x）=， ∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0， ∴h（x）max=h（e）=， ∴＜h（e）=， ∴m＜． ∴m的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B． 点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 5. 在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是（　　） A．3 B．4 C．1 D． 参考答案： A 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【分析】求出4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率，结合独立重复试验的方差公式进行计算即可． 【解答】解：设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率p=（）4=， 在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次， 则ξ～（16，），则Dξ=16××=3， 故选：A． 6. 设集合，，为虚数单位，R，则为（  ） A.(0,1)         B.(0,1]          C.[0,1)              D.[0,1] 参考答案： 7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（　　） A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 参考答案： A 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积 【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示： 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2， 由三视图可知两个四棱锥大小相等， ∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺． 故选：A． 8. 如果命题“”为真命题，则 A.均为真命题 B.均为假命题 C.中至少有一个为真命题 D.中一个为真命题，一个为假命题 参考答案： B 略 9. 已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（　　） A．﹣ B． C．2 D． 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】向量法；平面向量及应用． 【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°． 【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2， 由题意可得在上的投影为 ||cos120°=2×（﹣）=﹣． 故选B． 【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题． 10. 下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ） A. 4π B. 2π C. D. π 参考答案： B 【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 【详解】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半， 可得几何体的体积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若复数满足，则          ． 参考答案： 略 12. 圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标是　  　，直线l：x﹣y=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|=　 　． 参考答案： （1，1），2 【考点】圆的一般方程． 【分析】本题可以将圆的普通方程化成为标准方程，得到圆心坐标和半径长，得到本题结论． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0， ∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1， ∴圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标和半径分别为：（1，1），1． 圆心在直线l：x﹣y=0，∴|AB|=2， 故答案为：（1，1），2． 【点评】本题考查了圆的普通方程和标准方程的互化，本题难度不大，属于基础题． 　 13. 方程=的解为            ． 参考答案： -2 略 14. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为         ． 参考答案： 6 15. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为            参考答案： 16. 已知为第二象限角，，则=___________； 参考答案： 略 17. 在三棱锥中，侧棱两两垂直，，则三棱锥的外接球的表面积为           参考答案： 14π 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=n2﹣8n． （Ⅰ）分别求出数列{an}和数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=，若cn≤m，对于?n∈N*恒成立，求实数m的最小值． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式可得an，再利用递推式可得bn． （II），由cn≤m，对于?n∈N*恒成立，即m≥cn的最大值，作差cn+1﹣cn对n分类讨论即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列， ∴2a2=a1+a3﹣8， ∴， 化为q2﹣2q﹣3=0， ∴q1=3，q2=﹣1， ∵q＞1，∴q=3， ∴， 当n=1时，． 当n≥2时，， 当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式， ∴． （Ⅱ）， 若cn≤m，对于?n∈N*恒成立， 即m≥cn的最大值， ， 当cn+1=cn时，即n=5时，c5=c6， 当cn+1＞cn时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5， 当cn+1＜cn时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…， ∴cn的最大值为，即． ∴m的最小值为． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. （本小题满分14分） 已知函数为实常数）．(I)当时，求函数在上的最小值；(Ⅱ)若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；(Ⅲ)证明：（参考数据：） 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，，，令，又，在上单调递减，在上单调递增．当时， ．的最小值为． …．4分 (Ⅱ) 在上有解在上有解在上有解．令，， 令，又，解得：．在上单调递增， 上单调递减，又．．即．故．……9分 (Ⅲ)设， 由（Ⅰ），，．． ． ． 构造函数，当时，． 在上单调递减，即．当时， ．．即． ． 故． …14分 20. （本题满分16分） 在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. （1）试用和a表示S； （2）若恰好当时，S取得最大值，求a的值.   参考答案： (1)设边 ，则 ， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以 ， 所以 ， （2）因为 ， ， 令 ，得 且当时， ，， 当时， ，， 所以当时，面积最大，此时 ，所以， 解得 ， 因为 ，则.   21. （本小题满分10分） 在中，角，，所对的边分别为，，，已知,且, . （Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，求的面积。   参考答案：   22. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件． （Ⅰ）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式; （Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值． 参考答案： 故                   ……………10分 ②当，即时， 时，；时， 在上单调递增；在上单调递减， 故              ……………12分 答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大, 最大值为万元；   当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大, 最大值为万元.               ……………13分   略