福建省泉州市平山中学高三数学理期末试卷含解析

福建省泉州市平山中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 给出关于双曲线的三个命题： ①双曲线的渐近线方程是； ②若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率； ③若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上. 其中正确的命题的个数是（    ） A. 0    B. 1    C. 2    D. 3 参考答案： C 2. 函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则m的最小值为（   ） A．                B．                C．               D． 参考答案： D ， 将的图象沿轴向右平 移个单位后，得到的图象， 因为， 所以，即， 即正数m的最小值为．   3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（　　）   A．[0，2] B．[1，2] C．[0，1] D．[﹣1，5] 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值． 若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]， 若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]， 输出y∈[0，2]， 故选：A． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础． 　 4. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若；   ②若； ③若；     ④若，则 其中正确命题的个数为 (    ) A．1     B．2      C．3      D．4 参考答案： B 略 5. 设f（x）=lnx，a＞b＞0，M=f（），N=f（），R=[f（a）+f（b）]，则下列关系式中正确的是(     ) A．N=R＜M B．N=R＞M C．M=R＜N D．M=R＞N 参考答案： C 【考点】对数值大小的比较． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】利用指数的运算性质、指数函数的单调性、基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵f（x）=lnx，a＞b＞0， ∴M=f（）=（lna+lnb），N=f（）=ln＞=M， R=[f（a）+f（b）]===M， ∴N＞M=R． 故选：C． 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 已知全集且则等于(  ) （A）　　  　　    （B）　   　　　（C）　　   　　（D） 参考答案： B 略 7. 是虚数单位，       (A)     (B)     (C)     (D) 参考答案： 答案：D 8. 设a=log3π，b=log2，c=log3，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 参考答案： A 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵b=log2=，c=log3=， =1，∴， ∴c＜b＜1． 又a=log3π＞1， ∴a＞b＞c． 故选：A． 【点评】本题考查对数函数的单调性，属于基础题． 9. 双曲线=1的渐近线方程是（　　） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】直接利用双曲线方程求渐近线方程即可． 【解答】解：双曲线=1可得，所以双曲线的渐近线方程为：y=±x． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，基本知识的考查． 10. 已知,则（     ） A.        B.       C.       D. 以上都有可能 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若存在，使成立，则实数的取值范围是___________． 参考答案： 略 12. 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm2.      参考答案： 10，400π 略 13. 设g（x）=，则g（g（））=　　． 参考答案： 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值． 【解答】解：∵g（x）=， ∴g（）=ln=﹣ln2＜0， ∴g（g（））=g（﹣ln2） =e﹣ln2 = =2﹣1 =． 故答案为：． 【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题． 14. 已知函数若函数与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是            . 参考答案： 15. 有一问题的算法程序是          WHILE          WEND    PRINT S    END 则输出的结果是           .  Ks5u 参考答案： 5050 略 16. 若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_____________. 参考答案： 2   本题主要考查了三角形的解法以及正弦定理，属容易题 因为，又a=2,有一个角是的等腰三角形是正三角形，所以AB=2 17. 已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为           ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体中，，，点在棱上移动． （1）证明：； （2）等于何值时，二面角的大小为． 参考答案： （1）略  （2） 试题分析：第一问利用长方体的特殊性，建立相应的坐标系，应用向量的数量积等于零来得出向量垂直，从而得证两直线垂直，第二问县设出的长，从而利用空间向量求得二面角的大小，从而得出关于长度所满足的等量关系式，从而求得结果. 试题解析：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，，设 则  ，  所以，      所以； （2）设为平面的一个法向量， 由，得，所以 因为二面角的大小为， 所以 又，所以，即当时二面角的大小为. 考点：线线垂直，二面角. 19. （10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为、，曲线C的参数方程为为参数）． （Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值． 参考答案： 【考点】： 简单曲线的极坐标方程． 【专题】： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 【分析】： （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可将A，B化为直角坐标，再由直线方程的形式，即可得到AB的方程； （Ⅱ）运用同角的平方关系，可将曲线C化为普通方程即为圆，再由直线和圆相切：d=r，即可得到半径r． 解：（Ⅰ）∵点A、B的极坐标分别为、， ∴点A、B的直角坐标分别为、， ∴直线AB的直角坐标方程为； （Ⅱ）由曲线C的参数方程，化为普通方程为x2+y2=r2， ∵直线AB和曲线C只有一个交点， ∴半径． 【点评】： 本题考查极坐标和直角坐标的互化，以及极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题． 20. （本小题满分12分） 已知某水库近50年来年入流量（单位：亿立方米）的频数分布如下表： 年入流量 年数 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.现计划在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数受当年年入流量的限制，并有如下关系： 年入流量 最多运行台数 （1）求随机变量的数学期望； （2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元．为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？ 参考答案： （1）1.9   （2）2台 【考点】离散随机变量的分布 （1）依题意， 随机变量的分布列为 随机变量的数学期望为   记水电站总利润为（单位：万元） ?  安装台发电机的情形. 由于水库年流入量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润  ?  安装台发电机的情形. 依题意，当时，一台发电机运行，此时因此；当时，两台发电机运行，此时 因此.由此  的分布列如下： ?  安装台发电机的情形. 依题意，当时，一台发电机运行，此时 因此；当时，两台发电机运行，此时 因此.当时，三台发电机运行，此 因此． 由此的分布列如下： 综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机台． 【点评】正确理解题意是基础，准确写出各分布列是关键．本题考查学生逻辑推理能力和离散随机变量的分布． 21. 在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业．其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为 x2升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升．潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升． （1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数； （2）若x∈[6，10]，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围； （3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？ 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，进而列式可得结论； （2）通过基本不等式可知及x∈[6，10]可知y=++6在[6，8]上单调递减、在[8，10]上单调递增，比较当x=6、10时的取值情况即得结论； （3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为≈18.3分钟． 【解答】解：（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟， ∴y=， 整理得y=++3（x＞0）… （2）由（1）同理得y=++6≥14（x∈[6，10]） 函数在x∈[6，8]是减函数，x∈[8，10]是增函数， ∴x=8时，ymin=14，x=6时，y=，x=10，y=＜， ∴总用氧量y的取值范围是[14，]； （3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为≈18.3分钟， 所以潜水员最多在水下18分钟．… 　 22. （2015?贵州二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且； （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值． （Ⅱ）设∠BAD=θ，