福建省厦门市澳溪中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

福建省厦门市澳溪中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量， ，则是的   (A)充分不必要条件    (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件      (D)既不充分也不必要条件 参考答案： A 2. 如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　） 　 A． [﹣1，1） B． {﹣1，0} C． （﹣∞，﹣1]∪[0，1） D． [﹣1，0]∪（1，+∞） 参考答案： 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用绝对值的几何意义，由y=|x|﹣2可得，x≥0时，y=x﹣2；x＜0时，y=﹣x﹣2，确定函数y=|x|﹣2的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0），为了使函数y=|x|﹣2的图象与方程x2+λy2=4的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y=x﹣2代入方程x2+λy2=4，整理可得（1+λ）x2﹣4λx+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形． 解答： 解：由y=|x|﹣2可得，x≥0时，y=x﹣2；x＜0时，y=﹣x﹣2， ∴函数y=|x|﹣2的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0），如图． 所以为了使函数y=|x|﹣2的图象与方程x2+λy2=4的曲线恰好有两个不同的公共点， 则将y=x﹣2代入方程x2+λy2=4， 整理可得（1+λ）x2﹣4λx+4λ﹣4=0， 当λ=﹣1时，x=2满足题意， 由于△＞0，2是方程的根， ∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意； 综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）． 故选A． 点评： 本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 3. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f (-1)= (A) 3             (B) 1              (C)-1                (D)-3 参考答案： D 4. 已知R上的不间断函数 满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数 满足：对任意的，都有  成立，当时，。若关于的不等式  对恒成立，则的取值范围   A．     B．     C．      D． 参考答案： A 5. 已知△ABC所在平面上的动点M满足，则M点的轨迹过△ABC的(    ) A．外心       B．  内心    C．重心         D．垂心 参考答案： A 6. 下列命题中是假命题的是    （   ） A． B．   C．是幂函数，且在（0，+）上递减 D．，函数都不是偶函数 参考答案： D 7. 某公园有一个人工湖，湖中有4个人造岛屿甲、乙、丙、丁，要求驾船游遍4个岛屿，且每个岛屿只游览一次，则首先游岛屿甲，最后游岛屿丁的概率是（     ） A.        B.        C.        D. 参考答案： D 8. 函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2，则该函数图象的一条对称轴为（　　） A．x= B．x= C．x=2 D．x=1 参考答案： D 【考点】HB：余弦函数的对称性． 【分析】根据y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数求得φ的值，根据|AB|=2，利用勾股定理求得ω的值，可得函数的解析式，从而得到函数图象的一条对称轴． 【解答】解：由函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，可得φ=kπ+，k∈z． 再结合0＜φ＜π，可得φ=． 再根据AB2=8=4+，求得ω=，∴函数y=cos（x+）=﹣sinx，故它的一条对称轴方程为x=1， 故选：D． 9. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（　　） A．4π B．π C．π D．20π 参考答案： B 【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积． 【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积． 【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2， 三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径， r==，球的表面积4πr2=4π×=π． 故选：B． 10. 下列函数中，既是奇函数又在区间[﹣2，2]上单调递增的是（　　） A．f（x）=sinx B．f（x）=ax+a﹣x（a＞0，a≠1） C．f（x）=ln D．f（x）=ax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1） 参考答案： C 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在[﹣2，2]上单调递增，易得到答案 【解答】解：A．sinx在[]上单调递减； B．f（0）=2≠0，∴f（x）不是奇函数； C．f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），∴f（x）是奇函数， 设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln﹣ln=ln， ∵x1＜x2， ∴3+x1＜3+x2，3﹣x2＜3﹣x1， ∴＜1， ∴ln＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增， D．f′（x）=（ax+a﹣x）lna； ∴0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0； ∴f（x）单调递减． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数x，y满足x2+xy+y2=3，则x2﹣xy+y2的取值范围为         ． 参考答案： [1，9] 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：设x2﹣xy+y2=m，又x2+xy+y2=3，可得3﹣m=2xy．由于x2+y2≥2|xy|，可得﹣3≤xy≤1，即可得出． 解答： 解：设x2﹣xy+y2=m， ∵x2+xy+y2=3，∴3﹣m=2xy． ∵x2+y2≥2|xy|，当且仅当x=±y时取等号． ∴3≥﹣2xy+xy，3≥2xy+xy， 化为﹣3≤xy≤1， ∴﹣6≤2xy≤2． ∴﹣6≤3﹣m≤2， 解得1≤m≤9． ∴x2﹣xy+y2的取值范围为[1，9]． 故答案为：[1，9]． 点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活变形能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 12. 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为      ． 参考答案： 略 13. 点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__   __; 参考答案： 略 14. 在中，是的中点，点列（）在线段上，且满足，若，则数列的通项公式        参考答案：   15. 若一个正三棱柱的各条棱均与一个半径为的球相切，则该正三棱柱的体积为____________ 参考答案： 略 16. 设是第三象限角，且，则       。 参考答案： 17. 若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又有f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________． 参考答案： (－3,0)∪(0,3) 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的． （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A43，利用古典概率计算公式即可得出． （Ⅱ）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P（ξ=0）=；P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；P（ξ=3）=，即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A43， ∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1== （Ⅱ）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3． P（X=0）==； P（X=1）==； P（X=2）==； P（X=3）==． ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴期望Eξ=0×+1×++3×=． 19. （本小题满分14分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且． (Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)已知，求的值． 参考答案： (Ⅰ) ， ……………………………………………………… 3分 ∵，∴， ∴，∵，∴B=.……………………………………………… 6分 (Ⅱ)， ∵， ∴，即，∴，……………………… 9分 而，∴.…………… 12分 ∴ . ……………………………………………… 14分 20. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 Ⅰ、求证：CE⊥平面PAD； Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，       求四棱锥P-ABCD的体积. Ⅲ、在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的 余弦值的绝对值. 参考答案： (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE, 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分 (2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD. 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以 ==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于……………7分 （3）建立以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系，取平面PBC的法向量为n1=(1,01)，取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3)， 所以二面角的余弦值的绝对值是………………………………………………….12分   【解析】略 21.       甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了、、、四所需要面试的院校，这四所院 校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位 同学选择各个院校是等可能的，试求： （Ⅰ）甲、乙选择同一所院校的概率； （Ⅱ）院校、至少有一所被选择的概率. 参考答案： 略 22. （本题满分12分）（1）证明： （2）三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a，b，C成等差数列，求证。 参考答案： （1） （2）由正弦定理得，又由（1）可知 由余弦定理得： 所以。                          ………12分