湖南省郴州市苏仙区实验中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省郴州市苏仙区实验中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则=          A．[0，2]                                                                          B．          C．                                                D． 参考答案： A 本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的补集运算，及逆向思维能力．难度较小． 解不等式x2－2x＞0，化简集合M＝{x|x＞2或x＜0}，∴CUM＝{x|0≤x≤2}． 2. 某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：   做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15   P（K2≥k） 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 附：K2=，则下列结论正确的是（　　） A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关” B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关” 参考答案： C 【考点】独立性检验． 【专题】概率与统计． 【分析】通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论 【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15． 则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100． 代入K2=， 得k2的观测值k=． 因为2.706＜3.030＜3.841． 所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”． 即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” 故选C． 【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题． 3. 某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据中的中位数和平均数分别是 A 、91.5和91.5       B、91.5和92     C.  91和91.5      D、92和92 参考答案： A 略 4. 设，则是的（    ） A.充分不必要条件     B.必要不充分条件    C.充要条件      D.既不充分又不必要条件 参考答案： A 略 5. 设且则 （      ）     A．     B.    C.    D. 参考答案： 【知识点】三角函数的化简求值．C7  【答案解析】C  解析：由tanα=，得：， 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα． 由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关． 排除选项A，B后验证C， 当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立． 故选：C． 【思路点拨】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 6. 若集合则集合=（    ） A．（-2，+∞） B．（-2，3） C．  D．R 参考答案： C 略 7. 已知cos（α+）＝，，则sin2α＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： D ，选D.   8. 已知（i为虚数单位），则复数（    ） A．1+i         B．1－i       C．－1+i        D．－1－i 参考答案： C ，，，，故选C.   9. 若函数在（0，2）上存在两个极值点，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣） C．（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣） D．（﹣e，﹣）∪（1，+∞） 参考答案： C 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】由题意可知：f′（x）=a（x﹣1）ex+﹣在（0，2）上有两个零点，a（x﹣1）ex+=0，有两个根，即可求得a=﹣，根据函数的单调性即可求得a的取值范围． 【解答】解：函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+在（0，2）上存在两个极值点， 等价于f′（x）=a（x﹣1）ex+﹣在（0，2）上有两个零点， 令f′（x）=0，则a（x﹣1）ex+=0， 即（x﹣1）（aex+）=0， ∴x﹣1=0或aex+=0， ∴x=1满足条件，且aex+=0（其中x≠1且x∈（0，2））； ∴a=﹣，其中x∈（0，1）∪（1，2）； 设t（x）=ex?x2，其中x∈（0，1）∪（1，2）； 则t′（x）=（x2+2x）ex＞0， ∴函数t（x）是单调增函数， ∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e2）， ∴a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）． 故选C． 10. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（　　） A．48里 B．24里 C．12里 D．6里 参考答案： C 【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式． 【专题】计算题；阅读型；方程思想；定义法；等差数列与等比数列． 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程． 【解答】解：记每天走的路程里数为{an}， 由题意知{an}是公比的等比数列， 由S6=378，得=378， 解得：a1=192， ∴=12（里）． 故选：C． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式 的解集是                    参考答案： 原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。 12. 已知两个单位向量与的夹角为，若（）（），则         . 参考答案： -1或1 13. 将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种　　（用数字作答） 参考答案： 1080 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，先分组，再分配；先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有A44种方法，进而由分步计数原理计算可得答案． 解答： 解：根据题意，先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有=45种分组方法， 再对应分配到四个不同场馆，有A44=24种方法， 则共有45×24=1080种方法； 故答案为1080． 点评： 本题考查排列、组合的应用，注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类，要用对公式． 14. 已知全集，集合则       ． 参考答案： 15. 已知中的内角为，重心为，若 ，则          . 参考答案： 【知识点】解三角形C8 【答案解析】设为角所对的边，由正弦定理得 ，则 即，又因为不共线，则, ,即所以，. 【思路点拨】根据正弦定理求出边，根据余弦定理求出余弦值。 16. 曲线在点处的切线方程为          参考答案：   略 17. 已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为        ． 参考答案： 6π 考点：球的体积和表面积；由三视图求面积、体积；球内接多面体． 专题：计算题． 分析：由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积． 解答： 解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体， 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个， 故2R=， 所以外接球的表面积为：4πR2=6π． 故答案为：6π． 点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱柱中， 平面， .过的平面交于点，交于点. (l)求证： 平面； (Ⅱ)求证： ； (Ⅲ)记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值． 参考答案： (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) . 试题解析：（1） 因为 平面，所以 ．                          在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形， 所以 ． 所以 平面．                                            （2）在 三棱柱中， 因为 ， 平面，所以 平面．                                         因为 平面平面，所以 ．                                                  （3）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为. 因为三棱锥与三棱柱同底等高， 所以 ，   所以 . 因为 ，    所以 .    因为 三棱柱与三棱柱等高， 所以 △与△的面积之比为， 所以 ． 19. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为． （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点 ，直线l和曲线C交于A、B两点，求的值． 参考答案： （1），；（2）. 【分析】 (1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答. 【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数）， 所以曲线C的普通方程为. 因为， 所以. 所以直线的直角坐标方程为. （2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为， 代入椭圆的方程得， 所以， 所以. 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20. 如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2． （1）证明：EF⊥BD； （2）求多面体ABCDEF的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）由地面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，又EA⊥平面ABCD，可得BD⊥EA，然后利用线面垂直的判定得BD⊥平面EACF，最后可得EF⊥BD； （2）把多面体ABCDEF的体积转化为2倍的棱锥B﹣ACFE的体积求解． 【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC， ∵EA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥EA， ∵EA、AC?平面EACF，EA∩AC=A， ∴BD⊥平面EACF， 又∵EF?平面EACF， ∴EF⊥BD； （2）解：∵ABCD是边长为2的正方形， ∴AC=， 又EA=1，FC=2，