湖南省郴州市余田中学2022年高三数学理月考试题含解析

湖南省郴州市余田中学2022年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数为周期函数的是：             （     ） A．sinx       B．  C．sin         D．2014（） 参考答案： D 略 2. （5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（  ）   A． B． 2 C． D． 3 参考答案： A 【考点】： 双曲线的简单性质． 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到． 解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4， 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p=2c，即c=2， ∵设P（m，n），由抛物线定义知： |PF|=m+=m+2=5，∴m=3． ∴P点的坐标为（3，） ∴解得：， 则渐近线方程为y=x， 即有点F到双曲线的渐进线的距离为 d==， 故选：A． 【点评】： 本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组． 3. 已知集合，，则A∩B=                      （） A. B. 或} C. D. 或} 参考答案： C 【分析】 求出A中不等式的解集，找出两集合的交集即可 【详解】由题意可得，，所以.故选C. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 4. 已知Z= (i为虚数单位),则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限      　B．第二象限      C．第三象限     D．第四象限 参考答案： D 因为Z=＝＝1-＋，Z的共轭复数为1-－，在第四象限。 5. .设是非零向量，则是成立的（   ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 参考答案： B 【分析】 是非零向量，，则方向相同，将单位化既有，反之则不成立. 【详解】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量 所以成立;反之不成立. 故选B 【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件；判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决． 6. 把一颗骰子投掷两次，第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，以为系数得到直线，又已知直线，则直线与相交的概率为（ ） (A)        （B）      （C）     （D） 参考答案： A 7. 设偶函数（的部分图象如图所示， 为等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A．    B．       C．   　  D． 参考答案： D 略 8. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（　　） A．1 B．±1 C．2 D．±2 参考答案： C 【考点】二项式定理． 【分析】根据题意，有2n=32，可得n=5，进而可得其展开式为Tr+1=C5r?（）5﹣r?（）r，分析可得其常数项为第4项，即C53?（a）3， 依题意，可得C53?（a）3=80，解可得a的值． 【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32， 可得n=5， 则二项式的展开式为Tr+1=C5r?（）5﹣r?（）r， 其常数项为第4项，即C53?（a）3， 根据题意，有C53?（a）3=80， 解可得，a=2； 故选C． 9. 已知向量，. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A．     B．        C．                D． 参考答案： C 略 10. 已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．b>c>a                           B．b>a>c C．a>b>c                           D．c>b>a 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则_________. 参考答案： 2  12. 若n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为        . 参考答案： 13. 记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________. 参考答案： 【答案】5 【解析】由得 所以解得 14. 已知，则的最小值为        参考答案： 4 15. 当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为________． 参考答案： x2＋y2＋2x－4y＝0 16. 点M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点,用过A、M、N和 D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为                        参考答案： ②、③、④ 略 17. 已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为　　． 参考答案： ﹣8 【考点】3T：函数的值． 【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）． 【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R， 所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1， 设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x）， 所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1， 所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8． 故答案为：﹣8． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，，其中且． (Ⅰ) 当，求函数的单调递增区间； (Ⅱ) 若时，函数有极值，求函数图象的对称中心的坐标； （Ⅲ）设函数 （是自然对数的底数），是否存在a使在上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由． 参考答案：   略 19. 已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，0）处的切线的斜率为2. （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在[，e]上的单调区间和最值． 参考答案： 试题解析：解：（1）由f（x）=ax3+bx2lnx，得f′（x）=3ax2+2bxlnx+bx， ∴，解得a=0，b=2. ∴f（x）=2x2lnx （2）f′（x）=4xlnx+2x， 由f′（x）=0，得， 当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0， ∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为； ∵，f（e）=2e2，． ∴f（x）在[，e]上的最大值为2e2，最小值为． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 点评：本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，属中档题． 20. （本小题满分12分）ttp://wwwks5ucom/gaokao/shandong/    已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且（为坐标原点）。    （Ⅰ）求椭圆的方程；ks5u    （Ⅱ）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。 参考答案： 解：（1）设则由 由得 即  所以                       …………2分 又因为                                      …………3分 因此所求椭圆的方程为：                                   Ks5u……4分    （2）动直线的方程为：由得 设 则                        …………6分 假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则 由假设得对于任意的恒成立， 即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）                                 …12分 略 21. 已知数列满足 (1) 求证:数列的奇数项,偶数项均构成等差数列; (2) 求的通项公式; (3) 设，求数列的前项和. 参考答案： 略 22. 如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：平面PMC⊥平面PCD． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，满足定理所需条件； （2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，则MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，满足定理所需条件． 【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE， 由N为PC的中点知ENDC， 又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB 又M是AB的中点，∴ENAM， ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD ∴MN∥平面PAD 证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD， 又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD， ∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD， 又MN?平面PMC， ∴平面PMC⊥平面PCD． 【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题．