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湖南省衡阳市常宁庙前中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆,直线,则与的位置关系是
A.一定相离 B..一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心[
参考答案:
【知识点】直线与与圆的位置关系H4
C解析:因为直线恒过点,且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,又因为圆的圆心坐标为,直线的斜率存在所以直线不能过圆心,故选择C.
【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部,可得直线与圆相交,又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不存在的直线上,而直线斜率存在,所以不过圆心.
2. “在内”是“在内单调递增”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
∵在内,则在内单调递增,
反过来,若在内单调递增,则,
∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件.
故选.
3. 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,其中可以输出的函数是 .
A.
B.
C.
D.
参考答案:
4. 已知命题p:|x-1|≥2,q:x∈z.若“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为( )
A.{x|x≥3或x≤-1,xz} B.{x|-1≤x≤3,xz}
C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1,2}
参考答案:
D
5. 已知,设函数在R上单调递减;函数的值域为R,如果“且”为假命题,“或为真命题,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 若与都是非零向量,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
7. 若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子中的小球个数都不同,则不同的放法共有( )
A.15种 B.18种 C.19种 D.21种
参考答案:
B
9. 箱子里有5个黑球,4个白球,每次从箱中随机取出一个球,若取出的是黑球,则放回箱中,重新取球;若取出的是白球,则停止取球.那么在第4次取球后停止的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知非零向量满足,向量的夹角为,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列满足,且,则通项公式 .
参考答案:
12. 以双曲线的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _______.
参考答案:
双曲线的渐近线为,不妨取,即。双曲线的右焦点为,圆心到直线的距离为,即圆的半径为4,所以所求圆的标准方程为。
13. 已知数列中,,则数列的前2018项的和为 .
参考答案:
14. 焦点在x轴上,短轴长等于16,离心率等于的椭圆的标准方程为________.
参考答案:
【分析】
由短轴长等于16可得,联立离心率及即可求得,问题得解。
【详解】由题可得:,解得:
又,解得:
所以所求椭圆的标准方程为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查计算能力,属于基础题。
15. 在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期,从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________。
参考答案:
本题考查排列组合和概率的相关基础知识.同时考查了理解能力和转化与化归的数学思想方法.属容易题,当所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P=,则至少有一瓶为过期饮料的概率.
16. 已知中且;则
参考答案:
17. 的展开式中的常数项为_______.
参考答案:
-5
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,直角梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB=l,BC=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E,F、G分别是CE、AD的中点.现将AADE沿4E折起,使平面DAE与平面CAE所成角为135°.
(I)求证:平面DCE⊥平面ABCE;
(Ⅱ)求直线FG与面DCE所成角的正弦值。
参考答案:
略
19. (本小题满分12分)
如图4,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 若,求三棱柱的体积.
参考答案:
(Ⅰ)连结,因为为正三角形,为棱的中点,
所以,从而,又面面,
面面,面,
所以面,又面,所以…①,……2分
设,由,所以,,
,又,所以,
所以,又,
所以,
设,则…②,…………………5分
由①②及,可得平面.…………………6分
(Ⅱ)方法一:取中点,连结,则,所以面.…………7分
所以,…………………10分
所以三棱柱的体积为.…………………12分
方法二:取中点,连结,因为为正三角形,所以,
因为面面,面面,面,
,所以面,又面,所以,
又,所以平面,所以为三棱柱的高,……9分
经计算,,………………11分
所以三棱柱的体积.………………12分
20. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知ABC中的两条角平分线和相交于,B=60,在上,
且。
(Ⅰ)证明:四点共圆;
(Ⅱ)证明:CE平分DEF。
参考答案:
解:(Ⅰ)在△ABC中,因为∠B=60°,
所以∠BAC+∠BCA-=120°.
因为AD,CE是角平分线,
所以∠HAC+∠HCA=60°,
故∠AHC=120°. ----------3分
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°,
所以B,D,H,E四点共圆。---------5分
(Ⅱ)连结BH,则BH为的平分线,得30°
由(Ⅰ)知B,D,H,E四点共圆,
所以30° ------------8分
又60°,由已知可得,
可得30°
所以CE平分 ------------10分
略
21. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度(单位:千米小时)是车流密度(单位:辆千米)的函数,当桥上的的车流密度达到200辆千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆千米时,车流速度为60千米小时,研究表明;当时,车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆每小时)可以达到最大,并求最大值(精确到1辆小时).
参考答案:
(1)由题意,当时,;当时,设
由已知,解得.
故函数的表达式为.
(2)由题意并由(1)可得
当时,为增函数,故当时,其最大值为;
当时,
当且仅当即时等号成立.
所以当时,在区间上取得最大值.
综上可知,当时, 在区间上取得最大值.
即当车流密度为100辆千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆小时
22. 已知函数.
(Ⅰ)求的值域;
(Ⅱ)设的角的对边分别为,且求的最大值
参考答案:
解:(Ⅰ) …… (2分)
, ……………………………………………(4分)
故的值域为. …………………………………………………(7分)
(Ⅱ)由得,
又,故 . …………………………………………………(9分)
由余弦定理得, ……………… (10分)
,………………………………(14分)
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