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湖南省常德市毓德铺镇中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16π﹣ B.16π﹣C.8π﹣ D.8π﹣
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥.
【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥.
∴该几何体的体积V=﹣
=8π﹣.
故选:D.
【点评】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2. (5分)已知,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
∵sinθ+cosθ=﹣,
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,
∴2sinθcosθ=sin2θ=﹣;
又cos(2θ﹣)=﹣sin2θ,
∴cos(2θ﹣)=﹣(﹣)=.
故选A.
3. 已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-∞,3) C.( ,3) D.(1,3)
参考答案:
D
4. 函数的部分图象如图所示,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 设i是虚数单位,若 ,则复数z=
A. B.l+i C.3+i D.3-i
参考答案:
C
6. 若命题“?x0∈R使得x02+mx0+2m+5<0”为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣10,6] B.(﹣6,2] C.[﹣2,10] D.(﹣2,10)
参考答案:
C
【考点】特称命题.
【专题】简易逻辑.
【分析】首先,求解该命题的否定成立时实数m的取值范围,从而得到所求实数m的取值范围.
【解答】解:命题“?x0∈R,x02+mx0+2m+5<0”,
它的否定为?x∈R,x02+mx0+2m+5≥0,是真命题,
此时满足:
△≤0,
∴m2﹣8m﹣20≤0,
∴﹣2≤m≤10,
∴命题:?x∈R,x02+mx0+2m+5≥0,
成立时,实数m的取值范围为[﹣2,10],
∴m∈[﹣2,10],
故选:C.
【点评】本题采用“正难则反”的思想进行求解,注意保持命题的等价性和转化思想的灵活运用,属于中档题.
7. 已知圆和圆只有一条公切线,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
参考答案:
A
【考点】分段函数的应用;函数的零点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由f(a)=﹣3,结合指数和对数的运算性质,求得a=7,再由分段函数求得f(6﹣a)的值.
【解答】解:函数f(x)=且f(a)=﹣3,
若a≤1,则2a﹣1﹣2=﹣3,即有2a﹣1=﹣1<0,方程无解;
若a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,
则f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.
故选:A.
【点评】本题考查分段函数的运用:求函数值,主要考查指数和对数的运算性质,属于中档题.
9. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点,则打印的点落在坐标轴上的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
略
10. 函数y=xln(-x)与y=xlnx的图象关于( )
A.直线y=x对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.原点对称
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于 .
参考答案:
15
12. 已知函数的图像在点处的切线过点,则a=_____.
参考答案:
【分析】
求得函数f(x)的导数,可得切线的斜率,由两点的斜率公式,解方程可得a的值.
【详解】,,
又因为,切点是,
切线方程是:,.
故答案为
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查两点的斜率公式,以及方程思想和运算能力,属于基础题.
13. 已知数列为等比数列,且.,则=________.
参考答案:
16
14. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x2﹣=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM垂直,则实数a= .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.
【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5,p=8.取M(1,4),由AM的斜率可求出a的值.
【解答】解:根据抛物线的焦半径公式得1+=5,p=8.
取M(1,4),则AM的斜率为2,
由已知得﹣×2=﹣1,
故a=.
故答案为:.
15. 若,则= .
参考答案:
16. 从字母中任取两个不同字母,则取字母的概率为________.
参考答案:
解析:本题考查古典概型.采用列举法,从字母中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个,含有字母a有ab,ac,ad,ae。故概率为
1
17. 已知1,,9成等比数列,则实数等于 。
参考答案:
(丢一个不给分)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆的圆心为,,半径为,圆与离心率的椭圆的其中一个公共点为,、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若点的坐标为,试探究直线与圆能否相切,若能,求出椭圆和直线的方程;若不能,请说明理由.
参考答案:
(1);
(2) 能相切,直线的方程为,椭圆的方程为.
试题分析:
试题解析:(1)由已知可设圆的方程为, ………………1分
将点的坐标代入圆的方程,得,
即,解得或,
,. ………………2分
圆的方程为. ………………3分
(2)直线与圆相切,依题意设直线的方程为,
即, ………………4分
若直线与圆相切,则. ………………5分
,解得或. ………………6分
当时,直线与轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.………………7分
当时,直线与轴的交点横坐标为, ………………8分
,,. ………………9分
由椭圆的定义得,…………10分
,,故直线能与圆相切.………………11分
直线的方程为,椭圆的方程为.………………12分
考点:
19. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
参考答案:
(1),;(2)2
【分析】
(1)消去参数即可确定普通方程,将极坐标方程两边乘以整理计算即可确定直角坐标方程;(2)联立直线参数方程的标准形式和圆的方程,结合参数的几何意义即可求得弦长.
【详解】(1)直线 (为参数),消去得:
即:
曲线,即
又,.
故曲线
(2)直线的参数方程为 (为参数)
直线的参数方程为 (为参数)
代入曲线,消去得:
由参数的几何意义知,
【点睛】本题考查直线的参数方程,圆的极坐标方程与普通方程的互化等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
20. (本小题满分14分)
已知函数的定义域为R,对任意的、都满足,当
(I)试判断并证明的奇偶性;
(II)试判断并证明的单调性;
(III)若均成立,求实数m 的取值范围。
参考答案:
解:(I)略为奇函数,
(II)略在R上为增函数
(III)
21. 已知函数f(x)=alnx+(a≠0)在(0,)内有极值.
(I)求实数a的取值范围;
(II)若x1∈(0,),x2∈(2,+∞)且a∈[,2]时,求证:f(x2)﹣f(x1)≥ln2+.
参考答案:
解:(I)由f(x)=alnx+(a≠0),得:,
∵a≠0,令,∴g(0)=1>0.
令或, 则0<a<2.
(II)由(I)得:,
设ax2﹣(2a+1)x+a=0(0<a<2)的两根为α,β,
则,得.
当x∈(0,α)和(β,+∞)时,,函数f(x)单调递增;
当x∈和(2,β)时,,函数f(x)单调递减,
则f(x1)≤f(a),f(x2)≥f(β),
则f(x2)﹣f(x1)≥f(β)﹣f(α)=alnβ﹣alnα﹣
==(利用)
令,x>2则,
则函数h(x)单调递增, h(x)≥h(2)=2ln2+,
∴,
∵,则,
∴f(x1)﹣f(x2)≥ln2+.
22. (本小题满分12分)已知是一个公差大于0的等差数列,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列和数列满足等式+ (n为正整数),求数列的前n项和.
参考答案:
(1)设等差数列{an}的公差为d,则依题意知d>0,
由a2+a7=16,得2a1+7d=16,①
由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55,②
由①得2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220,
即256-9d2=220.∴d2=4,又d>0,
∴d=2,代入①得a1=1,
∴an=1+(n-1)·2=2n-1. ..............4分
(2)∵当n=1时,a1=,∴b1=2. ..............5分
当n≥2时,+,
an-1=,
两式相减得an-an-1=,∴bn=2n+1, ..............8分
∴ ..............9分
当n=1时,S1=b1=2; ..............10分
当n≥2时,Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+=2n+2-6,..............11分
当n=1时上式也成立.
综上,当n为正整数时,Sn=2n+2-6. ..............12分
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