湖南省岳阳市袁家铺镇中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省岳阳市袁家铺镇中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案． 【详解】如图， 由题意可得，，则2b2＝c2， 即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2， ∴，即e． 故选：D． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 2. 已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由题意可得，求得，可得向量的夹角的值． 【解答】解：又，可得，即． ∵||=||=2，∴2×2×2×cos＜，＞+4=0， 解得cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，即向量的夹角为， 故选：C． 3. 已知，那么（   ） A.　 B.      C.   D. 参考答案： B 4. 函数，若方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．[0，+∞） 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】数形结合；函数的性质及应用． 【分析】由题知f（x）为分段函数，当x＜0时，由f（x）=f（x+1）可知f（x）为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=﹣x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围． 【解答】解：函数的图象如图所示， 作出直线l：y=a﹣x，向左平移直线l观察可得函数y=f（x） 的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点， 即方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根， 即有a＜1， 故选：C． 【点评】本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想． 5. 已知函数的导函数是,且,则实数a的值为 (  ) A. B. C. D. 1 参考答案： B 【分析】 先对函数求导得，再根据得到a的方程，解方程即得a的值. 【详解】由f(x)=ln(ax-1)可得,由,可得=2,解得a=. 故答案为：B 【点睛】(1)本题主要考查对复合函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作 6. 若全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，集合B={1，4，7}，则集合（?UA）∩B=（　　） A．{4} B．{1，2，4，6，7} C．{3，5} D．{1，7} 参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案． 【解答】解：由U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5，7}，得?UA={2，4，6}， 又B={1，4，7}，∴（?UA）∩B={4}． 故选：A． 7. 如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是          （    ）     A．1-           B．             C．1-           D．与的取值有关   参考答案： 答案:A 8. 已知直线l1：x=﹣4和直线l2：3x+4y+18=0，P是抛物线y2=16x上的点，P到l1、l2距离之和最小时，P到直线l2的距离是（　　） A．1 B．2 C．5 D．6 参考答案： A 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】求得焦点坐标根据抛物线的定义可知：当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，求得DF的方程，代入抛物线方程，求得P点坐标，利用点到直线的距离公式即可求得P到直线l2的距离． 【解答】解：由抛物线y2=16x焦点为（4，0）， 由抛物线的定义可知：丨PC丨=丨PF丨， P到直线l2的距离d为丨PD丨， 则丨PC丨+丨PD丨=丨PF丨+丨PD丨， 当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，最小值为丨FD丨==6， 直线DF的斜率为，DF的方程为：y=（x﹣4）， ，解得：或（舍去）， 则P点坐标为（1，﹣4）， P到直线l2的距离d==1， P到直线l2的距离1， 故选A． 【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 9. 已知向量=(-5，6) , =(6，5)，则与     A．平行且反向    B．不垂直也不平行    C．平行且同向    D．垂直 参考答案： 答案：D 10. 在△ABC中,已知,则的值是(    ) A.              B.             C.            D.－ 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若变量、满足约束条件则的最大值为     参考答案：    12. 已知复数（其中是虚数单位），满足，则实数              ，         ． 参考答案： 2   ,   13. （4分）设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为　　． 参考答案： ﹣2 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和． 【专题】： 计算题． 【分析】： 由曲线y=xn+1（n∈N*），知y′=（n+1）xn，故f′（1）=n+1，所以曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为xn=，故an=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99． 解：∵曲线y=xn+1（n∈N*）， ∴y′=（n+1）xn，∴f′（1）=n+1， ∴曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1）， 该切线与x轴的交点的横坐标为xn=， ∵an=lgxn， ∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99 =（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】： 本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 14. 某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有　  　种．（结果用数字表示） 参考答案： 1296 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，先分析第1节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面7节课，按第8节课分2种情况讨论，①、若第8节安排选修课，②、若第8节安排自修课，由分类计数原理可得后面7节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有C31=3种排法； 对第8节课分情况讨论： ①、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况， 排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选， 在其中任选2个，安排2节自修课，有C42=6种情况， 此时有24×6=144种安排方法； ②、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况， 排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选， 在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有A42=12种情况， 此时有24×12=288种情况， 则后面7节课有144+288=432种安排方法； 则所有不同的排法共有3×432=1296种； 故答案为：1296． 15. 对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确命题的序号是____________． 参考答案： ①② 16. 已知的最小值是      ； 参考答案： 4 17. 如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝  ▲  ． 参考答案： －3 在中，由余弦定理可得：，由题意可得：，，故.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为，且经过点．圆. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由． 参考答案： （1）；（2）不成立. 试题分析：（1）由离心率为，可得：，由椭圆经过点，可得：，即可得椭圆的方程；（2）先将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，利用，可得，再求出点的坐标，进而可得点不是线段的中点，即可得不成立. 试题解析：（1）解：∵ 椭圆过点， ∴ .                                   …………………………………………1分 ∵，                      …………………………………………2分 ∴．                                   …………………………………………3分 ∴椭圆的方程为.                …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分 ∵直线与椭圆有且只有一个公共点， ∴方程组 （*）  有且只有一组解． 由（*）得．        ……………………………………6分 从而,化简得．①  …………………7分                 ，. ……………9分 ∴ 点的坐标为.            ……………………………………10分 由于，结合①式知， ∴.            ……………………………………11分 ∴ 与不垂直.                            ……………………………………12分 ∴ 点不是线段的中点.                     ……………………………………13分 ∴不成立.                       ……………………………………14分 解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.     ………………………5分 ∵直线与椭圆有且只有一个公共点， ∴方程组 （*）  有且只有一组解． 由（*）得．        ……………………………………6分 从而,化简得．①  …………………7分                 ，          …………………………………………………8分 由于，结合①式知， 设,线段的中点为, 由消去,得.…………………………