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湖南省岳阳市袁家铺镇中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆C:的右焦点为F,过点F作圆的切线,若两条切线互相垂直,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由题意画出图形,可得,两边平方后结合隐含条件得答案.
【详解】如图,
由题意可得,,则2b2=c2,
即2(a2﹣c2)=c2,则2a2=3c2,
∴,即e.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
2. 已知向量与满足||=||=2,且⊥(2+),则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】由题意可得,求得,可得向量的夹角的值.
【解答】解:又,可得,即.
∵||=||=2,∴2×2×2×cos<,>+4=0,
解得cos<,>=﹣,∴<,>=,即向量的夹角为,
故选:C.
3. 已知,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 函数,若方程f(x)=﹣x+a有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,0) B.[0,1) C.(﹣∞,1) D.[0,+∞)
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】数形结合;函数的性质及应用.
【分析】由题知f(x)为分段函数,当x<0时,由f(x)=f(x+1)可知f(x)为周期函数;当x大于等于0时函数为增函数,而方程f(x)=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f(x)与y=﹣x+a由两个交点,在同一坐标系中画出函数f(x)的图象与函数y=﹣x+a的图象,利用数形结合,易求出满足条件实数a的取值范围.
【解答】解:函数的图象如图所示,
作出直线l:y=a﹣x,向左平移直线l观察可得函数y=f(x)
的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点,
即方程f(x)=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根,
即有a<1,
故选:C.
【点评】本题考查学生综合运用函数和方程的能力,以及让学生掌握数形结合的数学思想.
5. 已知函数的导函数是,且,则实数a的值为 ( )
A. B. C. D. 1
参考答案:
B
【分析】
先对函数求导得,再根据得到a的方程,解方程即得a的值.
【详解】由f(x)=ln(ax-1)可得,由,可得=2,解得a=.
故答案为:B
【点睛】(1)本题主要考查对复合函数求导,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设函数在点处有导数,函数在点处的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且,或写作
6. 若全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},集合B={1,4,7},则集合(?UA)∩B=( )
A.{4} B.{1,2,4,6,7} C.{3,5} D.{1,7}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案.
【解答】解:由U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},得?UA={2,4,6},
又B={1,4,7},∴(?UA)∩B={4}.
故选:A.
7. 如图所示,墙上挂有边长为的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆孤,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 ( )
A.1- B. C.1- D.与的取值有关
参考答案:
答案:A
8. 已知直线l1:x=﹣4和直线l2:3x+4y+18=0,P是抛物线y2=16x上的点,P到l1、l2距离之和最小时,P到直线l2的距离是( )
A.1 B.2 C.5 D.6
参考答案:
A
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】求得焦点坐标根据抛物线的定义可知:当F,P,D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小,求得DF的方程,代入抛物线方程,求得P点坐标,利用点到直线的距离公式即可求得P到直线l2的距离.
【解答】解:由抛物线y2=16x焦点为(4,0),
由抛物线的定义可知:丨PC丨=丨PF丨,
P到直线l2的距离d为丨PD丨,
则丨PC丨+丨PD丨=丨PF丨+丨PD丨,
当F,P,D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小,最小值为丨FD丨==6,
直线DF的斜率为,DF的方程为:y=(x﹣4),
,解得:或(舍去),
则P点坐标为(1,﹣4),
P到直线l2的距离d==1,
P到直线l2的距离1,
故选A.
【点评】本题考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查计算能力,属于中档题.
9.
已知向量=(-5,6) , =(6,5),则与
A.平行且反向 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.垂直
参考答案:
答案:D
10. 在△ABC中,已知,则的值是( )
A. B. C. D.-
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若变量、满足约束条件则的最大值为
参考答案:
12. 已知复数(其中是虚数单位),满足,则实数 ,
.
参考答案:
2 ,
13. (4分)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为 .
参考答案:
﹣2
【考点】: 利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和.
【专题】: 计算题.
【分析】: 由曲线y=xn+1(n∈N*),知y′=(n+1)xn,故f′(1)=n+1,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程为y﹣1=(n+1)(x﹣1),该切线与x轴的交点的横坐标为xn=,故an=lgn﹣lg(n+1),由此能求出a1+a2+…+a99.
解:∵曲线y=xn+1(n∈N*),
∴y′=(n+1)xn,∴f′(1)=n+1,
∴曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程为y﹣1=(n+1)(x﹣1),
该切线与x轴的交点的横坐标为xn=,
∵an=lgxn,
∴an=lgn﹣lg(n+1),
∴a1+a2+…+a99
=(lg1﹣lg2)+(lg2﹣lg3)+(lg3﹣lg4)+(lg4﹣lg5)+(lg5﹣lg6)+…+(lg99﹣lg100)
=lg1﹣lg100=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】: 本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
14. 某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课,其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门,第8节只能安排选修课或自修课,且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻,则所有不同的排法共有 种.(结果用数字表示)
参考答案:
1296
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,先分析第1节课,由组合数公式可得第一节的排法数目,对于后面7节课,按第8节课分2种情况讨论,①、若第8节安排选修课,②、若第8节安排自修课,由分类计数原理可得后面7节课的排法数目,进而由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门,则第一节课有C31=3种排法;
对第8节课分情况讨论:
①、若第8节安排选修课,需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列,有A44=24种情况,
排好后,出最后的空位之外,有4个空位可选,
在其中任选2个,安排2节自修课,有C42=6种情况,
此时有24×6=144种安排方法;
②、若第8节安排自修课,将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列,有A44=24种情况,
排好后,出最后的空位之外,有4个空位可选,
在其中任选2个,安排剩下的自修课与选修课,有A42=12种情况,
此时有24×12=288种情况,
则后面7节课有144+288=432种安排方法;
则所有不同的排法共有3×432=1296种;
故答案为:1296.
15. 对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),给出如下三个命题:①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;③f(x)没有最小值.其中正确命题的序号是____________.
参考答案:
①②
16. 已知的最小值是 ;
参考答案:
4
17. 如图,在四边形ABCD中,=5,BD=4,O为BD的中点,且=,则= ▲ .
参考答案:
-3
在中,由余弦定理可得:,由题意可得:,,故.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,且经过点.圆.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点,且与圆相交于两点,问是否成立?请说明理由.
参考答案:
(1);(2)不成立.
试题分析:(1)由离心率为,可得:,由椭圆经过点,可得:,即可得椭圆的方程;(2)先将直线的方程与椭圆的方程联立,可得,利用,可得,再求出点的坐标,进而可得点不是线段的中点,即可得不成立.
试题解析:(1)解:∵ 椭圆过点,
∴ . …………………………………………1分
∵, …………………………………………2分
∴. …………………………………………3分
∴椭圆的方程为. …………………………………………4分
(2)解法1:由(1)知,圆的方程为,其圆心为原点. ………………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点,
∴方程组 (*) 有且只有一组解.
由(*)得. ……………………………………6分
从而,化简得.① …………………7分
,. ……………9分
∴ 点的坐标为. ……………………………………10分
由于,结合①式知,
∴. ……………………………………11分
∴ 与不垂直. ……………………………………12分
∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分
∴不成立. ……………………………………14分
解法2:由(1)知,圆的方程为,其圆心为原点. ………………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点,
∴方程组 (*) 有且只有一组解.
由(*)得. ……………………………………6分
从而,化简得.① …………………7分
, …………………………………………………8分
由于,结合①式知,
设,线段的中点为,
由消去,得.…………………………
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