2022年浙江省嘉兴市秀州区建设中学高二数学理期末试题含解析

2022年浙江省嘉兴市秀州区建设中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在1、2、3、4共四个数中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是（       ） A、          B、           C、             D、 参考答案： C 略 2. 若向量与的夹角为，，，则（　 　） Ａ． Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12 参考答案： C 3. 已知函数，若实数是方程的解，且，则 的值(    ) A．恒为负        B．等于零         C．恒为正        D．不大于零 参考答案： C 由于，所以.在上是减函数，是增函数，所以 在上是减函数， 所以，故选C； 4. 若函数在(1,2)内单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 求出函数的导数，让导函数在内，恒小于等于零，可以化为：在内恒成立，构造新函数，求出新函数的值域，就可以求出实数的取值范围. 【详解】在内恒成立，即 在内恒成立，设所以在内是单调递增，因此，要想在内恒成立，只需即可，故本题选C. 【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题.解决此类问题的关键是通过转化变形，构造新函数，利用新函数的值域，求出参数的范围. 5. 若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是 A.   B.   C.   D. 参考答案： A 6. 如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是 （　　)． 参考答案： A 略 7. 已知实数x，y满足 ，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　） A．﹣3 B． C．5 D．6 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部， 其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5） 设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（2，﹣1）=5 故选：C 　 8. 如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（　　） A．22 B．46 C．94 D．190 参考答案： C 【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值． 【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： i  S   是否继续循环 循环前  1  1/ 第一圈  2  4       是 第二圈  3  10      是 第三圈  4  22      是 第四圈  5  46      是 第五圈  6  94     否 故输入的S值为94 故选C． 9. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 参考答案： C 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【分析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：分3步进行分析， ①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法， ②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法， ③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法， 则共有2×2×6=24种排法， 故选C． 10. 某单位随机统计了某4天的用电量（度）与当天气温（）如下表，以了解二者的关系。 气温（） 18 13 10 -1 用电量（度） 24 34 38 64 由表中数据得回归直线方程，则 A．60           B．58            C．40        D．以上都不对 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是   ____  ． 参考答案： 略 12. 经过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质， 可以得到椭圆类似的性质为_______               __． 参考答案： 13. 抛物线的焦点坐标是   ▲    . 参考答案： （0，1） 略 14. 设f（x）=，则f（）+（）+f（）+…+f（）=　_________　． 参考答案： 15. 在二项式展开式中，第五项为________. 参考答案： 60 【分析】 根据二项式的通项公式求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，则， 故第五项为60. 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，注意是第项.   16. 已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是　  　． 参考答案： 3 【考点】基本不等式． 【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值． 【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=， ∴2x+y=2x+==≥2=3． 当且仅当即x=1时取等号． 故答案为：3． 17. 不等式x2﹣2x＜0的解集为　    　． 参考答案： {x|0＜x＜2} 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】把原不等式的左边分解因式，再求出不等式的解集来． 【解答】解：不等式x2﹣2x＜0可化为 x（x﹣2）＜0， 解得：0＜x＜2； ∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}． 故答案为：{x|0＜x＜2}． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为防止某种疾病，今研制一种新的预防药，任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：     患病 未患病 总计 服用药 15 40 55 没服用药 20 25 45 总计 35 65 100   经计算得,则在犯错误的概率不超过(  )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。 A．0.025 B．0.10 C． 0.01 D． 0.05 参考数据： P（ K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828   参考答案： B 19. （12分）已知抛物线C；y2=2px过点A（1，1）． （1）求抛物线C的方程； （2）过点P（3，﹣1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程； （2）设过点P（3，﹣1）的直线l的方程为x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1?k2的值． 【解答】解：（1）由题意抛物线y2=2px过点A（1，1），所以p=， 所以得抛物线的方程为y2=x； （2）证明：设过点P（3，﹣1）的直线l的方程为x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3， 代入y2=x得y2﹣my﹣m﹣3=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=m，y1y2=﹣m﹣3， 所以k1?k2===﹣ 【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 20. 已知函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）． （1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值； （2）求函数f（x）的单调区间与极值点． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣3a， ∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切， ∴，即，解得：； （2）∵f′（x）=3（x2﹣a），（a≠0）， 当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增， 此时函数f（x）没有极值点． 当a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=±， 当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x∈（﹣，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈[，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ∴此时x=﹣是f（x）的极大值点，x=是f（x）的极小值点． 21. 已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．    (1)讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；    (2)设g（x）=﹣ ，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．    参考答案： （1）解：f（x）=x﹣alnx，（x＞0），  f′（x）=1﹣ = ， ①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值； ②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a， ∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增， f（x）有1个极小值点； （2）解：若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，  令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值＞0在[1，e]恒成立， 则h（x）=x﹣alnx+ （a∈R）， ∴h′（x）=1﹣ ﹣ = ， ①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0， 解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1， 当a＞﹣1时 ①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减， ∴f（x）min=f（e）=e+ ﹣a＞0，解得a＜ ， ∵ ＞e﹣1， ∴e﹣1≤a＜ ； ②当0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增， ∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0， 解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1； ③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a）， ∵0＜ln（1+a）＜1， ∴0＜aln（1+a）＜a， ∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）＞0成立， 综上，﹣2＜a＜ 时，不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立                    【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值                【分析】（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数；（2）由题意，只要求出函数f（x）min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围． 22. 已知a为实数， （1）求导数；