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湖南省郴州市灵官中学2022年高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 判断下列命题的真假,其中为真命题的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
2. 已知满足,则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
参考答案:
B
3. 双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )
(A)0.99 (B)0.98 (C)0.97 (D)0.96
参考答案:
D
略
5. 直线 L1:ax+(1-a)y=3, L2:(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,则a的值为 ( )
A.-3 B.1 C. 0 或- D.1或-3
参考答案:
D
6. 已知,实数满足约束条件,则的最大值为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
略
7. 若向量夹角的余弦值是,则的值为( )
A.2 B.-2 C.-2或 D.2或
参考答案:
C
略
8. 满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0的点(x,y)所在的区域应为( )
参考答案:
B
略
9. 不等式的解集是( )
A.
参考答案:
D
10. 下列说法错误的是( )
A.如果命题“?p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:“若a≠0,则ab≠0”
C.若命题p:?x0∈R,x02+2x0-3<0,则?p:?x∈R,x2+2x-3≥0
D.“sin θ=”是“θ=30°”的充分不必要条件
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为双曲线(,且)的两个焦点,为双曲线右支上异于顶点的任意一点,为坐标原点.下面四个命题( )
①的内切圆的圆心必在直线上; ②的内切圆的圆心必在直线上;
③的内切圆的圆心必在直线上; ④的内切圆必通过点.
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的序号).
参考答案:
①④
12. 如图所示的长方体中,AB=AD=,=,则二面角的大小为_______;
参考答案:
略
13. 若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.(用数字作答)
参考答案:
2880
14. 的展开式中项的系数为______.
参考答案:
10
的展开式的通项公式为,令,求得,可得展开式中项的系数为,故答案为10.
15. 如图,已知四面体ABCD的棱AB∥平面,且,其余的棱长均为2,有一束平行光线垂直于平面,若四面体ABCD绕AB所在直线旋转.且始终在平面的上方,则它在平面内影子面积的最小值为________.
参考答案:
【分析】
在四面体中找出与垂直的面,在旋转的过程中在面内的射影始终与垂直求解.
【详解】和都是等边三角形,取中点,
易证,,即平面,所以.
设在平面内的投影为,则在四面体绕着旋转时,恒有.
因为平面,所以在平面内的投影为.
因此,四面体在平面内的投影四边形的面积
要使射影面积最小,即需最短;
在中,,,且边上的高为,
利用等面积法求得,边上的高,且,
所以旋转时,射影的长的最小值是.
所以
【点睛】本题考查空间立体几何体的投影问题,属于难度题.
16. 某企业在2017年2月份引入高新技术,预计“用10个月的时间实现产量比2017年1月的产量翻一番”的指标.按照这一目标,甲乙丙三人分别写出在这十个月间平均增长率满足的关系式,依次为甲:;乙:;丙:,其中关系式正确的是 .
参考答案:
丙
17. 与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程为__________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.
参考答案:
【考点】抛物线的应用.
【专题】计算题.
【分析】(I)设出抛物线的方程,把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得,进而求得抛物线的准线方程.
(II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则可分别表示kPA和kPB,根据倾斜角互补可知kPA=﹣kPB,进而求得y1+y2的值,把A,B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率.
【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px
∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p×1,得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x
准线方程是x=﹣1
(II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB
则,
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴kPA=﹣kPB
由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,得y12=4x1(1)y22=4x2(2)
∴
∴y1+2=﹣(y2+2)
∴y1+y2=﹣4
由(1)﹣(2)得直线AB的斜率
【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
19. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若∠A为锐角,求b的值及△ABC的面积.
参考答案:
(Ⅰ)正弦定理,…………………………2分
得,…………………………4分
(Ⅱ)∵,且
∴,………………………….5分
由余弦定理得,…………………………7分
∴…………………………10分
20. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1;
( 2)求证:AC1∥平面CDB1.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】计算题;证明题.
【分析】(1)利用ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,证明CC1⊥AC,利用AB2=AC2+BC2,说明AC⊥CB,证明AC⊥平面C1CB1B,推出AC⊥BC1.
(2)设CB1∩BC1=E,说明E为C1B的中点,说明AC1∥DE,然后证明AC1∥平面CDB1.
【解答】解:(1)∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,
∴CC1⊥AC…
∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴AB2=AC2+BC2,∴AC⊥CB …
又C1C∩CB=C,
∴AC⊥平面C1CB1B,又BC1?平面C1CB1B,
∴AC⊥BC1…
(2)设CB1∩BC1=E,∵C1CBB1为平行四边形,
∴E为C1B的中点…
又D为AB中点,∴AC1∥DE…
DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1…
【点评】本题考查直线与平面垂直,直线与直线垂直,直线与平面平行的证明,考查逻辑推理能力.
21. (本小题满分12分)
已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
(1)试求动点P的轨迹方程C;
(2)设直线与曲线C交于M、N两点,当|MN|=时,求直线的方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)设点,则依题意有,……3分
整理得由于,所以求得的曲线C的方程为
………………………………………5分
(Ⅱ)由
解得1=0, 2=分别为M,N的横坐标).………………………9分
由
…………………………………………………………………11分
所以直线的方程或.……………………………12分
略
22. 已知函数
(1) 若不等式的解集为,求实数的值;
(2) 在(1)的条件下,若对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
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