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安徽省六安市大顺中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 运行如图所示的程序框图,则输出的结果S为( )
A.1009 B.-1009 C.-1008 D.1008
参考答案:
A
执行程序框图,,;
,;
,;
,;
…
,.
∴输出
故选A.
2. 已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则等于( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
3. 计算:的结果是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知函数,正实数m,n满足,且,若在区间上的最大值为2,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 下列各式中值为的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
6. 函数的最小正周期为,
若其图象向右平移个单位后关于y轴对称,则
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
7. 已知函数a,b,则“|a+b|+|a﹣b|≤1”是“a2+b2≤1“的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】对a,b分类讨论,即可得出.
【解答】解:取a=,b=,满足“a2+b2≤1”,而“|a+b|+|a﹣b|≤1”不成立.
由“|a+b|+|a﹣b|≤1”,对a,b分类讨论,a≥b≥0时,化为0≤b≤a≤,可得“a2+b2≤1”,对其它情况同理可得.
因此“|a+b|+|a﹣b|≤1”是“a2+b2≤1”充分不必要条件.
故选:A.
8. 下列各组函数中,表示同一个函数的是
A.与 B.与
C.与 D.与y=logaax (a﹥0且a≠1)
参考答案:
D
略
9. 已知;直线与直线垂直,则是成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
参考答案:
A
试题分析:直线,则,解得或,所以是的充分不必要条件.故选A.
考点:充分必要条件.
10. 已知是虚数单位,则在复平面中复数对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A.
试题分析:因为函数,所以,化简得,
所以.根据复数的几何意义知,所对应的点的坐标为,所以其对应的点在第一象限.故应选A.
考点:复数的代数表示法及其几何意义.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1 ,F2,则四边形F1PF2Q的面积是
参考答案:
右准线方程为,渐近线为,则,,,,则.
12. 已知数列的前项和满足,则数列的通项公式an=__________.
参考答案:
解:
当时,
当时,
的通项公式为
说明:此题易忽略的情况。应满足条件。
13. 同时满足条件:①②若,这样的集合M有 个。
参考答案:
8
14. 函数 .
参考答案:
15. 已知,,且,则的最大值等于_____.
参考答案:
14
略
16. 设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则= 。
参考答案:
17. 据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈的模型波动(为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份达到最低价5千元,根据以上条件可确定的解析式为
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)
已知函数
(1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)求函数在区间上的值域.
参考答案:
【知识点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性.C3
【答案解析】(1);对称轴为:(2)
解析:(1)
所以,周期
函数图像的对称轴为: ……….6分
(2)由,得.
因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以,当时,取最大值1.
又,即当时 所取最小值.
所以函数的值域为 ……….12分
【思路点拨】(1)先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f(x)展开再整理,可将函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式,根据T=可求出最小正周期,令,求出x的值即可得到对称轴方程.(2)先根据x的范围求出2x﹣的范围,再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值,进而得到函数f(x)在区间上的值域.
19. 下列结论:
①直线,为异面直线的充要条件是直线,不相交;
②从总体中抽取的样本,,...,,若记, 则回归直线 必过点;
③函数的零点所在的区间是;
④已知函数,则的图象关于直线对称.
参考答案:
略
20. 已知直线的方程为,且直线与轴交于点,圆与轴交于两点.
(1)过点的直线交圆于两点,且圆孤恰为圆周的,求直线的方程;
(2)求以为准线,中心在原点,且与圆恰有两个公共点的椭圆方程;
(3)过点作直线与圆相切于点,设(2)中椭圆的两个焦点分别为,求三角形面积.
参考答案:
解:(1)为圆周的点到直线的距离为-------2分
设的方程为
的方程为-------------------------------------------------------------5分
(2)设椭圆方程为,半焦距为c,则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点,则或 ------------------------------6分
当时,所求椭圆方程为;-------------8分
当时,
所求椭圆方程为----------------------------------------------------------10分
(3)设切点为N,则由题意得,在中,,则,
N点的坐标为,------------------- 11分
若椭圆为其焦点F1,F2
分别为点A,B故,-----------------------------------13分
若椭圆为,其焦点为,
此时 -------------------------------------------15分
21. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O交
于点A(x1 ,y1 ),α∈(,).将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).
(1)若x1=,求x2;
(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tanα的值.
参考答案:
22. 已知椭圆C: =1,直线l过点M(﹣1,0),与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点N.
(1)设MN的中点恰在椭圆C上,求直线l的方程;
(2)设=λ, =μ,试探究λ+μ是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)设点N(0,n),表示出MN中点坐标,代入椭圆方程即可求得n值,从而可得直线方程;
(2)直线AB的斜率存在且不为0,设直线方程为x=ty﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(﹣1,0),N(0,﹣),联立,消x可得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,利用韦达定理,以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣,同理可得μ=﹣1﹣,然后化简即可.
【解答】解:(1)设点N(0,n),则MN的中点为(﹣,),
∴+=1,解得n=±,
所以直线l的方程为:y=±(x+1);
(2)由题意可知,直线AB的斜率存在且不为0,可设直线方程为x=ty﹣1,
A(x1,y1),B(x2,y2),M(﹣1,0),N(0,﹣),
由=λ, =μ,可得y1+=λ(0﹣y1),
y2+=μ(0﹣y2),
联立,消x可得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,
所以y1+y2=,y1y2=﹣.
得λ=﹣1﹣,同理可得μ=﹣1﹣,
所以λ+μ=﹣2﹣(+)=﹣2﹣()=﹣2﹣?=﹣.
故λ+μ为定值﹣.
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