2022年辽宁省朝阳市柳城高级中学高三数学文测试题含解析

2022年辽宁省朝阳市柳城高级中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（   ） A．－1              B．1                 C．        D． 参考答案： C ，所以，故选C. 2. 若向量的夹角为120°，，，则（    ） A. B. C. 1 D. 2 参考答案： C 【分析】 由，代入已知条件，即可解得. 【详解】因为， 又，，， 所以，解得(舍去)或.故选C. 【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解. 3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（   ）   A．①②     B．①③     C．①④     D．②④ 参考答案： ②圆锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、正方形；所以选D. 4. 某程序框图如图所示，若输出的S=29，则判断框内应填（　　） A．k＞5？ B．k＞4？ C．k＞7？ D．k＞6？ 参考答案： B 【考点】EF：程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案． 【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：            k   S         是否继续循环 循环前 1   1/ 第一圈 2   5         是 第二圈 3   11        是 第三圈 4   19        是 第四圈 5   29        否 故退出循环的条件应为k＞4． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 5. 正项等比数列{an}中，，则的值为（    ） A．100                      B．10000                   C．1000                    D．10 参考答案： B 略 6. 设，则等于 A．           B．      C．           D． 参考答案： 答案：D 7. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （     ） 参考答案： C 略 8. 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则 A．0            B．3        C．8             D．11 参考答案： B 9. 已知sin（α﹣）=，则cos（α+）的值等于(     ) A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： B 【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解． 【解答】解：∵sin（α﹣）=， ∴cos（α+）=cos（α+）=﹣cos（）=﹣sin[﹣（）]=﹣sin（﹣α）=sin（α﹣）=． 故选：B． 【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题． 10. 已知全集，集合，则(    ) A.    B.     C.     D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数有极大值又有极小值，则a的取值范围是__________． 参考答案： 或 由题意可得：， 若函数有极大值又有极小值， 则一元二次方程有两个不同的实数根， 即，整理可得：， 据此可知的取值范围是或． 12. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有     ▲    项． 参考答案： 7 ∴(n－1)(3n＋1)≤132，当n＝6时，5×19＜132；当n＝7时，6×22＝132， 故nmax＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9． 13. 若向量=（1，1）与=（λ，﹣2）的夹角为钝角，则λ的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，由此可得关于λ的不等式，解可得答案． 【解答】解：根据题意，若向量与的夹角为钝角， 则，且与不共线， 即有?=1×λ+1×（﹣2）=λ﹣2＜0，且1×λ≠1×（﹣2）， 解可得：λ＜2，且λ≠﹣2， 即λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）； 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）． 14. 若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是=                   参考答案： 15. 点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为()，则|BC|2=_______ 参考答案：   16. 如图所示，⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，若PC=6，CD=7，PO=12，则AB=        ． 参考答案： 16 考点：与圆有关的比例线段． 专题：直线与圆． 分析：由切割线定理得PC?PD=PA?PB，设圆半径为r，则6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的长． 解答： 解：设圆半径为r， ∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上， ∴PC?PD=PA?PB， ∵PC=6，CD=7，PO=12， ∴6（6+）=（12﹣r）（12+r）， 解得r=8， ∴AB=2r=16． 故答案为：16． 点评：本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用． 17. 已知实数x，y满足不等式组且的最大值为a，则=　     　． 参考答案： 3π 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数(常数且). （1）证明：当时，函数有且只有一个极值点； （2）若函数存在两个极值点，，证明：且. 参考答案： （1）详见解析；（2）详见解析.   不存在极值点；②当时，由，故在上单调递增， ∵，，∴在有且只有一个零点， 又∵的零点左侧，，在的零点右侧，， ∴函数在有且只有一个极值点，综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点；（2）∵为函数存在两个极值点，（不妨设）， ∴，是的两个零点，且由（1）知，必有， 令得；令得； 令得，∴在单调递增，在单调递减， 又∵，∴必有，令，解得， 又∵，∴， 当时，∵，，，∴， 则在单调递减，∵，∴， 综上可知，且．      考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想． 【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 19. (本题满分l2分)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=(sinA，1)，=(cosA，)，且//． (I)求角A的大小； (II)若a=2，b=2，求ABC的面积． 参考答案： 20. （本小题满分13分） 已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为. （I）当时,求函数的单调区间； （II）当时, 若,使得, 求实数的取值范围. 参考答案： 解: (I) 因为，其中                   …………………2分 当，，其中 当时，，， 所以，所以在上递增，                                   …………………4分 当时，，， 令， 解得，所以在上递增 令， 解得，所以在上递减 ……………7分 综上，的单调递增区间为，              的单调递增区间为                                                        （II）因为，其中     当，时， 因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于 ，令，得                       …………………8分 当时，即时 对成立，单调递增 所以当时，取得最大值   令  ，解得   ， 所以                                      …………………10分   当时，即时 对成立，单调递增 对成立，单调递减 所以当时，取得最大值           令   ，解得 所以                        …………………12分 综上所述，                         …………………13分 21. （本小题满分12分） 如图，已知椭E:的离心率为，且过点，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O， . （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值. 参考答案： 【知识点】椭圆方程H5 （1）（2）略 （1） 当直线AB的斜率存在时，设 由 .………………..4分 。 ………………..6分 ， 所以的范围是。………………..8分 ………………..10分 ………………..12分 【思路点拨】（1）由题意可得，所以可设出直线AB的方程，联立椭圆，可得，可得其范围； （2），而，d为原点到直线AB的距离. 22. （12分） 已知等差数列的前项和为，． （1）求的值； （2）若与的等差中项为，满足，求数列的前项和． 参考答案： 解析：(Ⅰ)解法一：当时，, 当时,. 是等差数列, , ············4分 解法二：当时,, 当时,. 当时,. . 又, 所以,得.············4分 (Ⅱ)解：, . 又, , ············8分 又得. ,,即是等比数列. 所以数列的前项和.···········12分