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2022年辽宁省朝阳市柳城高级中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数,在复平面内对应的点关于y轴对称,且,则复数( )
A.-1 B.1 C. D.
参考答案:
C
,所以,故选C.
2. 若向量的夹角为120°,,,则( )
A. B. C. 1 D. 2
参考答案:
C
【分析】
由,代入已知条件,即可解得.
【详解】因为,
又,,,
所以,解得(舍去)或.故选C.
【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.
3. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
参考答案:
②圆锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆;④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、正方形;所以选D.
4. 某程序框图如图所示,若输出的S=29,则判断框内应填( )
A.k>5? B.k>4? C.k>7? D.k>6?
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输入S的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案.
【解答】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表:
k S 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 2 5 是
第二圈 3 11 是
第三圈 4 19 是
第四圈 5 29 否
故退出循环的条件应为k>4.
故选:B.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
5. 正项等比数列{an}中,,则的值为( )
A.100 B.10000 C.1000 D.10
参考答案:
B
略
6.
设,则等于
A. B.
C. D.
参考答案:
答案:D
7. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为 ( )
参考答案:
C
略
8. 数列的首项为, 为等差数列且 .若则,,则
A.0 B.3 C.8 D.11
参考答案:
B
9. 已知sin(α﹣)=,则cos(α+)的值等于( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
参考答案:
B
【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用.
【专题】三角函数的求值.
【分析】利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后,结合已知即可得解.
【解答】解:∵sin(α﹣)=,
∴cos(α+)=cos(α+)=﹣cos()=﹣sin[﹣()]=﹣sin(﹣α)=sin(α﹣)=.
故选:B.
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用,属于基础题.
10. 已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数有极大值又有极小值,则a的取值范围是__________.
参考答案:
或
由题意可得:,
若函数有极大值又有极小值,
则一元二次方程有两个不同的实数根,
即,整理可得:,
据此可知的取值范围是或.
12. 各项均为实数的等差数列的公差为2,其首项的平方与其余各项之和不超过33,则这样的数列至多有 ▲ 项.
参考答案:
7
∴(n-1)(3n+1)≤132,当n=6时,5×19<132;当n=7时,6×22=132,
故nmax=7.【注】不易猜测:-3,-1,1,3,5,7,9.
13. 若向量=(1,1)与=(λ,﹣2)的夹角为钝角,则λ的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,2)
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意,若向量与的夹角为钝角,则,且与不共线,由此可得关于λ的不等式,解可得答案.
【解答】解:根据题意,若向量与的夹角为钝角,
则,且与不共线,
即有?=1×λ+1×(﹣2)=λ﹣2<0,且1×λ≠1×(﹣2),
解可得:λ<2,且λ≠﹣2,
即λ的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,2);
故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,2).
14. 若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是=
参考答案:
15. 点A,B是单位圆上的两点,A,B点分别在第一、二象限,点C是圆与x轴正半轴的交点,△AOB是正三角形,若点A的坐标为(),则|BC|2=_______
参考答案:
16. 如图所示,⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D,圆心O在PAB上,若PC=6,CD=7,PO=12,则AB= .
参考答案:
16
考点:与圆有关的比例线段.
专题:直线与圆.
分析:由切割线定理得PC?PD=PA?PB,设圆半径为r,则6(6+)=(12﹣r)(12+r),由此能求出AB的长.
解答: 解:设圆半径为r,
∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D,圆心O在PAB上,
∴PC?PD=PA?PB,
∵PC=6,CD=7,PO=12,
∴6(6+)=(12﹣r)(12+r),
解得r=8,
∴AB=2r=16.
故答案为:16.
点评:本题考查圆的直径的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.
17. 已知实数x,y满足不等式组且的最大值为a,则= .
参考答案:
3π
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数(常数且).
(1)证明:当时,函数有且只有一个极值点;
(2)若函数存在两个极值点,,证明:且.
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
不存在极值点;②当时,由,故在上单调递增,
∵,,∴在有且只有一个零点,
又∵的零点左侧,,在的零点右侧,,
∴函数在有且只有一个极值点,综上所述,当时,函数在内有且只有一个极值点;(2)∵为函数存在两个极值点,(不妨设),
∴,是的两个零点,且由(1)知,必有,
令得;令得;
令得,∴在单调递增,在单调递减,
又∵,∴必有,令,解得,
又∵,∴,
当时,∵,,,∴,
则在单调递减,∵,∴,
综上可知,且.
考点:1.导数的综合运用;2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数,然后用导数证明;2.求参数范围问题的常用方法:(1)分离变量;(2)运用最值;3.方程根的问题:可化为研究相应函数的图象,而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.
19. (本题满分l2分)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量=(sinA,1),=(cosA,),且//.
(I)求角A的大小;
(II)若a=2,b=2,求ABC的面积.
参考答案:
20. (本小题满分13分)
已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)当时, 若,使得, 求实数的取值范围.
参考答案:
解: (I) 因为,其中 …………………2分
当,,其中
当时,,,
所以,所以在上递增, …………………4分
当时,,,
令, 解得,所以在上递增
令, 解得,所以在上递减 ……………7分
综上,的单调递增区间为,
的单调递增区间为
(II)因为,其中
当,时,
因为,使得,所以在上的最大值一定大于等于
,令,得 …………………8分
当时,即时
对成立,单调递增
所以当时,取得最大值
令 ,解得 ,
所以 …………………10分
当时,即时
对成立,单调递增
对成立,单调递减
所以当时,取得最大值
令 ,解得
所以 …………………12分
综上所述, …………………13分
21. (本小题满分12分)
如图,已知椭E:的离心率为,且过点,四边形ABCD的顶点在椭圆E上,且对角线AC,BD过原点O, .
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)求证:四边形ABCD的面积为定值.
参考答案:
【知识点】椭圆方程H5
(1)(2)略
(1)
当直线AB的斜率存在时,设
由
.………………..4分
。
………………..6分
,
所以的范围是。………………..8分
………………..10分
………………..12分
【思路点拨】(1)由题意可得,所以可设出直线AB的方程,联立椭圆,可得,可得其范围;
(2),而,d为原点到直线AB的距离.
22. (12分)
已知等差数列的前项和为,.
(1)求的值;
(2)若与的等差中项为,满足,求数列的前项和.
参考答案:
解析:(Ⅰ)解法一:当时,,
当时,.
是等差数列,
,
············4分
解法二:当时,,
当时,.
当时,.
.
又,
所以,得.············4分
(Ⅱ)解:,
.
又,
,
············8分
又得.
,,即是等比数列.
所以数列的前项和.···········12分
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