2022年湖北省黄冈市团风中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年湖北省黄冈市团风中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 比较三个三角函数值的大小，正确的是（    ）   A．    B． C．   D． 参考答案： B 2. 已知函数，则=（   ）    A．4              B．             C．-4                 D． 参考答案： B 由题，选B. 3. 复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1，z1﹣z2=，则z1?z2=（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】z1﹣z2==﹣2i，由|z1|=|z2|=1，设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，可得cosα=cosβ，sinα﹣sinβ=﹣2，即可得出． 【解答】解：z1﹣z2====﹣2i， 由|z1|=|z2|=1，设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ， ∴cosα=cosβ，sinα﹣sinβ=﹣2， ∴cosα=cosβ=0，sinα=﹣1，sinβ=1， ∴z1=﹣i，z2=i， 则z1?z2=﹣i?i=1． 故选：A． 4. 如图给出的是计算的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是    A．      B．    C．     D． 参考答案： D 略 5. 已知等差数列通项公式为，在在，…，在，…，构成一个新的数列，若，则=（     ）    （A）45      （B）50         （C）55         （D）60 参考答案： C 6. 在公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，前7项和为35,则数列的通项 A．         B．           C．        D． 参考答案： B 7. 已知函数，若，其中，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 首先由对数函数的性质求出的范围在（0,1），再用基本不等式求解即可． 【详解】根据题意不防设，则由， 得，即， 所以．因为，所以． 所以答案为C 【点睛】本题考查对数函数的图像与性质、基本不等式，综合性比较强． 8. 某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（    ） A.25 B.24 C.18 D.16 参考答案： D 9. 已知函数对任意的有，且当时，，则函数 的大致图象为（   ）   参考答案： D 试题分析：故函数为奇函数，根据图象，选D. 考点：函数图象与性质． 10. 若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点 (A，B)是函数的一个“姊妹点对”.点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点”对”有（   ） A．0个         B．1个       C．2个       D．3个 参考答案： C 根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称。 可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数 交点个数即可。如图所示： 当时， 观察图象可得：它们有个交点。 故答案选   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于            ． 参考答案： 设，的夹角为，因为，所以，即，即，所以，所以，的夹角为或。 12. 在中，依次成等比数列，则B的取值范围是             参考答案： 因为依次成等比数列，所以，即，所以，所以，所以，即B的取值范围是。 13. 已知的展开式中含x的项为第6项， 设=       参考答案： 答案：255 14. 数式中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式，则，则，取正值得.用类似方法可得________. 参考答案： 4 【分析】 根据类比的方式，设原式，构造方程，解出的值即可. 【详解】令原式，则，解得：    本题正确结果： 【点睛】本题考查类比推理的应用，关键是能够准确理解已知中的式子的形式，属于基础题. 15. 若是纯虚数，则实数的值为_________。 参考答案： 0 略 16. 定义在R上的奇函数，当时, 则函数的所有零点之和为_____． 参考答案： 【分析】 函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案． 【详解】∵当x≥0时， f（x）＝ 即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]； x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]； x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）； 画出x≥0时f（x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示； 则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6， ∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）＝（﹣x+1）， 又f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x）， ∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a， 解得x＝1﹣2a， ∴所有根的和为1﹣2a． 故答案为：1﹣2a． 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．   17. 若的内角所对的边满足，且，则的最小值为________ks5u 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 （1）求角；    （2）若，求面积S的最大值. 参考答案： 19. 一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土． (Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程； (Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？     参考答案： 解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点， 中垂线为轴建立直角坐标系------1分 则            ------2分 设抛物线的方程为，将点代入得       -------3分 所以抛物线弧AB方程为（）  ------4分 （2）解法一： 设等腰梯形的腰与抛物线相切于      则过的切线的斜率为                  所以切线的方程为：，即         令，得，   令，得， 所以梯形面积    -----10分 当仅当，即时，成立                      此时下底边长为                       -----12分 答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．       -----13分  解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于                                       则过的切线的斜率为                    所以切线的方程为：，即         运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积： -----10分      当仅当，即时，成立，此时下底边长为    ---12分 答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．       -----------13分  解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为，    联立，得，                令，得，或（舍），         故此腰所在直线方程为，                       令，得，                                     故等腰梯形的面积： ------------10分 当且仅当，即时，有                此时，下底边长                 ------------12分 答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．         ----------13分 略 20. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣cosA=0． （1）求角A的大小； （2）若b=，sinB=sinC，求a． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出sinA的值，即可确定出A的度数； （2）已知等式利用正弦定理化简，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理列出关系，将b，c，cosA的值代入即可求出a的值． 【解答】解：（1）由sin2A﹣cosA=0，得2sinAcosA﹣cosA=0， 即cosA（2sinA﹣1）=0得cosA=0或sinA=， ∵△ABC为锐角三角形， ∴sinA=， 则A=； （2）把sinB=sinC，由正弦定理得b=c， ∵b=，∴c=1， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3+1﹣2××1×=1， 解得：a=1． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 21. 已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）． （1）若⊥，求的值； （2）若|﹣|=2，，求的值． 参考答案： 考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用． 专题：平面向量及应用． 分析：（1）由⊥，可得=2cosθ﹣sinθ=0，求得tanθ=2，从而求得= 的值． （2）把已知等式平方求得 =1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，求得 tanθ=．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ 和sinθ 的值，从而求得 =sinθ+cosθ的值． 解答： 解：（1）若⊥， 则=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2， ∴===． （2）∵||=1，||=， 若|﹣|=2，， 则有 ﹣2+=4，即 1﹣2+5=4，解得 =1， 即 2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1， 化简可得 3cos2θ﹣4sinθcosθ=0， 即 tanθ=． 再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1， 求得cosθ=，sinθ=， ∴=sinθ+cosθ=． 点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题． 22. 已知 （Ⅰ）若a=1，求； （Ⅱ）若，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）当a=1时， ∴              ……………………………………6分 （Ⅱ） 且 实数a的取值范围是（1，3）            ……………………………………12分