2022年河南省商丘市乡第三中学高三数学文期末试卷含解析

2022年河南省商丘市乡第三中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则                                                    (      )． A．   B．            C．            D． 参考答案： C 2. 对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数： （i） 对任意的x∈，恒有f（x）≥0； （ii） 当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立． 则下列四个函数中不是M函数的个数是(     ) ①f（x）=x2②f（x）=x2+1 ③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： A 考点：函数与方程的综合运用． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可． 解答： 解：（i）在上，四个函数都满足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1； 对于①，，∴①满足； 对于②，=2x1x2﹣1＜0，∴②不满足． 对于③，=而x1≥0，x2≥0，∴，∴，∴， ∴，∴，∴③满足； 对于④， =，∴④满足； 故选：A． 点评：本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求． 3. 若数列满足，则该数列的前2014项的乘积（　   　） A．3 B．﹣6 C．2 D．1 参考答案： B 4. 下列命题中错误的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 参考答案： D 5. 已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线焦点在轴上，且，又渐近线方程为，可得，所以，故选A．   6. 设变量z，y满足约束条件 ，则目标函数的最大值为 (A)               (B) 3           (C)6              (D) 9 参考答案： C 7. 椭圆的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S． 【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|， ∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大． 由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4． c==1． 把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±． ∴此时△FMN的面积S==． 故选：C． 　 8. 已知直线与抛物线的一个交点为A（不与原点重合），则直线到抛物线焦点的距离为（   ） A．6                  B．7              C．9              D．12 参考答案： B 联立方程：，得到：，∴（舍） ∴，又焦点F ∴ 故选：B   9. 已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示的表达式为                 （  ） A.    B .       C.         D. 参考答案： A 10. 点P的底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则 取值范围是    （  ）        A．[0，2]             B．[0，3]        C．[0，4]      D．[—2，2] 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=　    　． 参考答案： 9 【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质． 【分析】根据正项等比数列{an}的前n项和的性质，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列，建立等式关系，解之即可． 【解答】解：∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn， ∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列 即（S6﹣S3）2=S3?（S9﹣S6）， ∴（S6﹣3）2=3×12解得S6=9或﹣3（正项等比数列可知﹣3舍去）， 故答案为：9 【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的性质，同时考查运算求解的能力，属于基础题． 12. 在总体中抽取了一个样本，为了便于计算，将样本中的每个数据除以后进行分析，得出新样本的方差为，则估计总体的标准差为  ▲    参考答案： 300 略 13. 已知向量的值为__▲__. 参考答案： 略 14. 在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是　_________　． 参考答案： 略 15. 已知{an}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=　　． 参考答案： 【考点】类比推理． 【分析】先对Sn=a1+a2?4+a3?42+…+an?4n﹣1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5Sn﹣4nan的表达式，即可求出． 【解答】解：由Sn=a1+a2?4+a3?42+…+an?4n﹣1① 得4?sn=4?a1+a2?42+a3?43+…+an﹣1?4n﹣1+an?4n② ①+②得：5sn=a1+4（a1+a2）+42?（a2+a3）+…+4n﹣1?（an﹣1+an）+an?4n =a1+4×++…+4n?an =1+1+1+…+1+4n?an =n+4n?an． 所以5sn﹣4n?an=n． 故=， 故答案为． 【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握． 16. 若实数满足约束条件则的最大值是          ． 参考答案： 2 17. 在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,且a1,a3,a7依次成等比数列,那么数列{an}的前n项和Sn等于____________. 参考答案： 【分析】 根据a1,a3,a7依次成等比数列,求出公差，即可求解. 【详解】在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,设公差为 且a1,a3,a7依次成等比数列,即， ，，所以， 所以数列{an}的前n项和. 故答案为： 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 设函数． （1）若存在最大值，且，求的取值范围． （2）当时，试问方程是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理 由． 参考答案： （1）；（2）没有实根，理由见解析． 试题分析：（1）先求出的定义域和导数，对分，和进行讨论，当时，函数有最大值，由得到关于的不等式，解之即可；（2）当时，方程可化为，即，再构造函数和，利用导数法求出它们的最值，即可判断方程有无实数根． 因为，所以有，解之得， 所以的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）当时，方程可化为，即， 设，则， ∴时，，∴在上是减函数，当时，， ∴在上是增函数， ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设，则， ∴当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； ∴， ∵，∴数形结合可得在区间上恒成立， ∴方程没有实数根． 考点：1、利用导数研究函数的最值；2、函数的基本性质． 19. (本小题满分12分） 设函数的两个极值点。 （1）求a和b的值；（2）讨论的单调性； （3）设的大小。 参考答案： 解：（1）因为 略 20. (本小题满分14分)已知函数是函数的极值点.  (1)求实数的值；  (2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值.   参考答案： (1), , 由已知，.  (2)由(1) . 令,当时: x 1 - 0 + 极小值 所以，要使方程有两不相等的实数根，即函数的图象与直线有两个不同的交点, m=0或. 略 21. （14分）已知函数f（x）=xlnx﹣2x，g（x）=﹣ax2+ax﹣2，（a＞1）． （I）求函数f（x）的单调区间及最小值； （II）证明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立． 参考答案： 见解析 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】常规题型；转化思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】（I）首先对f（x）求导，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；即可得到单调区间与最值； （II）要证f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）﹣g（x），判断h（x）的单调性即可． 【解答】解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞）， ∵f（x）=xlnx﹣2x， ∴f'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1， 令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e； 令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e； ∴函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），单调递减区间为（0，e）； ∴函数f（x）的最小值为f（e）=elne﹣2e=﹣e； 证明：（II）令h（x）=f（x）﹣g（x）， ∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立， ∴h（x）min≥0，x∈[1，+∞）． ∵h（x）=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2， ∴h'（x）=lnx+2ax﹣a﹣1， 令m（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，x∈[1，+∞），则m'（x）=+2a， ∵x＞1，a＞1∴m'（x）＞0 ∴m（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴m（x）≥m（1）=a﹣1，即h'（x）≥a﹣1， ∵a＞1，∴a﹣1＞0，∴h'（x）＞0 ∴h（x）=xlnx+ax2﹣2x+2在[1，+∞）上单调递增， ∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）﹣g（x）≥0， 故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间与最值，以及构造新函数证明恒成立问题，属中等题．   22. 设函数. （1）若是函数的一个零点，求的值； （2）若是函数的一个极值点，求的值. 参考答案： 解：（1）是函数的一个零点, ∴ , 从而.        ∴    （2）, 是函数的一个极值点        ∴, 从而.        ∴.