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2022年河南省商丘市乡第三中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在上的函数是奇函数且满足,,数列满足,且,(其中为的前项和),则 ( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:
(i) 对任意的x∈,恒有f(x)≥0;
(ii) 当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
则下列四个函数中不是M函数的个数是( )
①f(x)=x2②f(x)=x2+1
③f(x)=ln(x2+1)④f(x)=2x﹣1.
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
考点:函数与方程的综合运用.
专题:函数的性质及应用.
分析:利用已知条件函数的新定义,对四个选项逐一验证两个条件,判断即可.
解答: 解:(i)在上,四个函数都满足;(ii)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1;
对于①,,∴①满足;
对于②,=2x1x2﹣1<0,∴②不满足.
对于③,=而x1≥0,x2≥0,∴,∴,∴,
∴,∴,∴③满足;
对于④,
=,∴④满足;
故选:A.
点评:本题通过函数的运算与不等式的比较,另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案,本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.
3. 若数列满足,则该数列的前2014项的乘积( )
A.3 B.﹣6 C.2 D.1
参考答案:
B
4. 下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
参考答案:
D
5. 已知双曲线:(,)的右焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线方程为,则双曲线C的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:抛物线的焦点坐标为,双曲线焦点在轴上,且,又渐近线方程为,可得,所以,故选A.
6. 设变量z,y满足约束条件 ,则目标函数的最大值为
(A) (B) 3 (C)6 (D) 9
参考答案:
C
7. 椭圆的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M、N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设右焦点为F′,连接MF′,NF′,由于|MF′|+|NF′|≥|MN|,可得当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.c==1.把c=1代入椭圆标准方程可得: =1,解得y,即可得出此时△FMN的面积S.
【解答】解:设右焦点为F′,连接MF′,NF′,∵|MF′|+|NF′|≥|MN|,
∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.
由椭圆的定义可得:△FMN的周长的最大值=4a=4.
c==1.
把c=1代入椭圆标准方程可得: =1,解得y=±.
∴此时△FMN的面积S==.
故选:C.
8. 已知直线与抛物线的一个交点为A(不与原点重合),则直线到抛物线焦点的距离为( )
A.6 B.7 C.9 D.12
参考答案:
B
联立方程:,得到:,∴(舍)
∴,又焦点F
∴
故选:B
9. 已知,为线段上距较近的一个三等分点,为线段上距较近的一个三等分点,则用表示的表达式为 ( )
A. B . C. D.
参考答案:
A
10. 点P的底边长为,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN是该棱柱内切球的一条直径,则 取值范围是 ( )
A.[0,2] B.[0,3] C.[0,4] D.[—2,2]
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S9﹣S6=12,则S6= .
参考答案:
9
【考点】等差数列的前n项和;等差数列的性质.
【分析】根据正项等比数列{an}的前n项和的性质,Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列,建立等式关系,解之即可.
【解答】解:∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn,
∴S3,S6﹣S3,S9﹣S6成等比数列
即(S6﹣S3)2=S3?(S9﹣S6),
∴(S6﹣3)2=3×12解得S6=9或﹣3(正项等比数列可知﹣3舍去),
故答案为:9
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和,以及等比数列的性质,同时考查运算求解的能力,属于基础题.
12. 在总体中抽取了一个样本,为了便于计算,将样本中的每个数据除以后进行分析,得出新样本的方差为,则估计总体的标准差为 ▲
参考答案:
300
略
13. 已知向量的值为__▲__.
参考答案:
略
14. 在直角三角形ABC中,AB=4,AC=2,M是斜边BC的中点,则向量在向量方向上的投影是 _________ .
参考答案:
略
15. 已知{an}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得= .
参考答案:
【考点】类比推理.
【分析】先对Sn=a1+a2?4+a3?42+…+an?4n﹣1 两边同乘以4,再相加,求出其和的表达式,整理即可求出5Sn﹣4nan的表达式,即可求出.
【解答】解:由Sn=a1+a2?4+a3?42+…+an?4n﹣1①
得4?sn=4?a1+a2?42+a3?43+…+an﹣1?4n﹣1+an?4n②
①+②得:5sn=a1+4(a1+a2)+42?(a2+a3)+…+4n﹣1?(an﹣1+an)+an?4n
=a1+4×++…+4n?an
=1+1+1+…+1+4n?an
=n+4n?an.
所以5sn﹣4n?an=n.
故=,
故答案为.
【点评】本题主要考查数列的求和,用到了类比法,是一道比较新颖的好题目,关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握.
16. 若实数满足约束条件则的最大值是 .
参考答案:
2
17. 在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,且a1,a3,a7依次成等比数列,那么数列{an}的前n项和Sn等于____________.
参考答案:
【分析】
根据a1,a3,a7依次成等比数列,求出公差,即可求解.
【详解】在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,设公差为
且a1,a3,a7依次成等比数列,即,
,,所以,
所以数列{an}的前n项和.
故答案为:
【点睛】此题考查等差数列基本量的计算,根据等比中项的关系列出方程解出公差,根据公式进行数列求和.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
设函数.
(1)若存在最大值,且,求的取值范围.
(2)当时,试问方程是否有实数根,若有,求出所有实数根;若没有,请说明理
由.
参考答案:
(1);(2)没有实根,理由见解析.
试题分析:(1)先求出的定义域和导数,对分,和进行讨论,当时,函数有最大值,由得到关于的不等式,解之即可;(2)当时,方程可化为,即,再构造函数和,利用导数法求出它们的最值,即可判断方程有无实数根.
因为,所以有,解之得,
所以的取值范围是........................5分
(2)当时,方程可化为,即,
设,则,
∴时,,∴在上是减函数,当时,,
∴在上是增函数,
∴............................9分
设,则,
∴当时,,即在上单调递增;
当时,,即在上单调递减;
∴,
∵,∴数形结合可得在区间上恒成立,
∴方程没有实数根.
考点:1、利用导数研究函数的最值;2、函数的基本性质.
19. (本小题满分12分)
设函数的两个极值点。
(1)求a和b的值;(2)讨论的单调性;
(3)设的大小。
参考答案:
解:(1)因为
略
20. (本小题满分14分)已知函数是函数的极值点.
(1)求实数的值;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值.
参考答案:
(1),
,
由已知,.
(2)由(1)
.
令,当时:
x
1
-
0
+
极小值
所以,要使方程有两不相等的实数根,即函数的图象与直线有两个不同的交点, m=0或.
略
21. (14分)已知函数f(x)=xlnx﹣2x,g(x)=﹣ax2+ax﹣2,(a>1).
(I)求函数f(x)的单调区间及最小值;
(II)证明:f(x)≥g(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.
参考答案:
见解析
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】常规题型;转化思想;综合法;导数的概念及应用.
【分析】(I)首先对f(x)求导,令f'(x)>0,即lnx﹣1>0,得x>e;令f'(x)<0,即lnx﹣1<0,得0<x<e;即可得到单调区间与最值;
(II)要证f(x)≥g(x)在x∈[1,+∞)上恒成立,可令h(x)=f(x)﹣g(x),判断h(x)的单调性即可.
【解答】解:(I)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=xlnx﹣2x,
∴f'(x)=lnx+1﹣2=lnx﹣1,
令f'(x)>0,即lnx﹣1>0,得x>e;
令f'(x)<0,即lnx﹣1<0,得0<x<e;
∴函数f(x)的单调增区间为(e,+∞),单调递减区间为(0,e);
∴函数f(x)的最小值为f(e)=elne﹣2e=﹣e;
证明:(II)令h(x)=f(x)﹣g(x),
∵f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立,
∴h(x)min≥0,x∈[1,+∞).
∵h(x)=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2,
∴h'(x)=lnx+2ax﹣a﹣1,
令m(x)=lnx+2ax﹣a﹣1,x∈[1,+∞),则m'(x)=+2a,
∵x>1,a>1∴m'(x)>0
∴m(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴m(x)≥m(1)=a﹣1,即h'(x)≥a﹣1,
∵a>1,∴a﹣1>0,∴h'(x)>0
∴h(x)=xlnx+ax2﹣2x+2在[1,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(1)=0,即f(x)﹣g(x)≥0,
故f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立.
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间与最值,以及构造新函数证明恒成立问题,属中等题.
22. 设函数.
(1)若是函数的一个零点,求的值;
(2)若是函数的一个极值点,求的值.
参考答案:
解:(1)是函数的一个零点, ∴ , 从而.
∴
(2), 是函数的一个极值点
∴, 从而.
∴.
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