2022年广东省梅州市坜陂中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年广东省梅州市坜陂中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为（　　） 　 A． 3 B． 5 C． 6 D． 7 参考答案： C 略 2. 直线过椭圆的一个顶点.则该椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D) 参考答案： D 椭圆的一个焦点在轴上， 中，令得，∴，∴ 3. 已知a∈（，π），sina=，则tan（a﹣）等于（　　） 　 A． ﹣7 B． ﹣ C． 7 D． 参考答案： A 考点： 同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： 根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可． 解答： 解：∵a∈（，π），sina=， ∴cosa=﹣，则tana===﹣ ∴tan（a﹣）===﹣7 故选A． 点评： 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 4. 已知偶函数，当时，，设则   A.      B.     C.    D. 参考答案： D 5. 函数的最小正周期为（    ） A．    B．    C．    D．    参考答案： B 因为，所以最小正周期，故选B． 6. 下列四种说法中,错误的个数是 ①集合A={0,1}的子集有3个； ②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x11”． ③命题“"x?R,均有x2?3x?2≥0”的否定是:“$x?R,使得x2?3x?2≤0” ④“命题púq为真”是“命题pùq为真”的必要不充分条件. A．0个    B．1个     C．2个   D．3个 参考答案： D 略 7. 若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是 A.   B.   C.   D. 参考答案： B 在复平面内对应的点在轴负半轴上，则且，∴   8. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是(    ) 参考答案： D 9. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的 （A）   （B）   （C）   （D） 参考答案： C 根据程序框图可知，本程序是计算，所以，选C 10. 如果一个几何体的三视图是如图所示（单位：cm）则此几何体的表面积是（　　） A． B．22cm2 C． D． 参考答案： A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱， 其底面是腰长为2cm的等腰直角三角形， 故底面面积S=×2×2=2cm2， 底面周长C=2+2+2=4+2cm， 棱柱的高h=3cm， 故棱柱的表面积为：2×2+3×（4+2）=， 故选：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数在(－1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 参考答案： 或 【分析】 首先根据单调性及最值可得，分为和两种情形，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可. 【详解】由题意得，， ①时，， 即，， 因此； ②时，， 即， 因此， 综上可得， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题． 12. 的展开式中常数项为_________。（用数字表示）   参考答案： 答案：28    13. 直线y＝－x＋b与5x＋3y－31＝0的交点在第一象限，则b的取值范围是________． 参考答案： 略 14. 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　   　． 参考答案： 13π 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径， 【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC， ∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC， 在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心， ∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心． ∵∠EDC=90°，∴， 又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=， 三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π， 故答案为：13π． 【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题． 　 15. 设集合S={0，1，2，3，…，n}，则集合S中任意两个元素的差的绝对值的和为　    　． 参考答案： n3+n2+n． 【考点】等差数列． 【分析】设集合S中第k个元素，则其值为k﹣1．然后根据数列求和进行解答． 【解答】解：设集合中第k个元素，则其值为k﹣1． |（k﹣1）﹣k|+|（k﹣1）﹣（k+1）|+…+|（k﹣1）﹣n| =1+2+…+（n+1﹣k） = Tn=n2?n+n?n+n﹣（1+2+…+n）n﹣（1+2+…+n）+（12+22+…+n2）=． 故答案是： n3+n2+n． 16. 若点A（x，y）是3000角终边上异于原点的一点，则的值为 ． 参考答案： 答案： 17. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an =_______，数列的前n项和Sn =_______. 参考答案：      【分析】 由题意可得，，利用累加法可求数列的通项公式，求出数列的通项公式，利用裂项相消法求其前项和. 【详解】解：由题意可知，，，，，累加可得， ， . 故答案为：；. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和． 参考答案： 解：（Ⅰ）设等比数列的公比 即，       解得：或                           ............3分 又的各项为正，，故            ............6分（Ⅱ）法一：设，数列前n项和为. 由解得.        ............8分         ............10分                   ............12分 法二：由题设          ...........9分即                              ............12分 19. （本小题满分12分）已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α()． (1)若，求角α的值；       (2)若=－1，求的值. 参考答案： 解：.(1)∵=(cos－3, sin), =(cos, sin－3). ∴∣∣=． ∣∣=．由∣∣=∣∣得sin=cos. 又∵，∴=. (2)由· =－1,得(cos－3)cos+sin (sin－3)=－1  ∵sin+cos=.①  又.  由①式两边平方得1+2sincos= ,  ∴2sincos=,   ∴. 20. 已知函数，不等式的解集为. （1）求实数m，n的值； （2）若，，，求证：. 参考答案： （1），.（2）见解析 【分析】 （1）分三种情况讨论即可 （2）将m，n的值代入，然后利用均值定理即可. 【详解】解：（1）不等式可化为. 即有或或. 解得，或或. 所以不等式的解集为，故，. （2）由（1）知，，即， 由，得，， 当且仅当，即，时等号成立.故，即. 【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题. 1. 已知，，求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程． 参考答案： 本题考查矩阵的乘法，MN==，………………4分 设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点，则有               于是，.          ……………………………………8分 代入得， 所以曲线在MN对应的变换作用下 得到的曲线方程为．             ……………………………10分 【解析】 22. 已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且． （Ⅰ）求角C的值； （Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围． 参考答案： 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由a2+b2=6abcosC，结合余弦定理可求，又sin2C=2sinAsinB，根据由正弦定理得：c2=2ab，从而可求cosC，即可解得C的值． （Ⅱ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意，利用周期公式即可求ω，可得，由，，A，B为锐角，可得范围，求得范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）因为a2+b2=6abcosC，由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC， 所以… 又因为sin2C=2sinAsinB，则由正弦定理得：c2=2ab，… 所以cosC===， 所以C=．… （Ⅱ）因为， 由已知=π，ω=2， 则，… 因为，， 由于0，0， 所以． 所以， 所以．…