2022年山东省烟台市栖霞松山中学高三数学文期末试题含解析

2022年山东省烟台市栖霞松山中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　） A．440       B．330 C．220   D．110 参考答案： A 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． 设第组的项数为，则组的项数和为 由题，，令→且，即出现在第13组之后 第组的和为 组总共的和为 若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数 即 → 则 故选A     2. 若，则的取值范围是 A．[1，]           B．[，1]         C．[1，2]          D．[，2] 参考答案： D 略 3. 倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（     ） A.                        B. C.                        D. 参考答案： D 直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D. 4. 某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A．π     B．2π    C．4π D．16π 参考答案： C 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.   5. 已知角α的终边经过点P（－4,3），则的值等于 A、－　　 B、　　C、　　D、 参考答案： B 6. 已知集合，在区间上任取一实数，则的概率为 A. B. C. D. 参考答案： C 7. 如果过曲线上的点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为 A、（1,0）         B、（0，-1）           C、（1,3）         D、（-1,0） 参考答案： A 略 8. 设函数，若互不相等的实数满足 ，则的取值范围是（  ）     A.           B.        C.          D. 参考答案： D 略 9. 已知集合，集合，则 等于(   ). A． B．  C．   D． 参考答案： A 10. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为(     ) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞） 参考答案： A 考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 专题：导数的综合应用． 分析：构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 解答： 解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0， ∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵exf（x）＞ex+3， ∴g（x）＞3， 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0 故选：A． 点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____． 参考答案： （-4，2） 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 12. 已知向量共线，则等于        。 参考答案： 13. 给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解； ④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1． 则正确命题是       ． 参考答案： ②③④ 考点：命题的真假判断与应用． 专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性， 分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确． 解答： 解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解， 则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1， 此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确； 对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx， 当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1 且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1， 因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点 因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确； 对于③，当x＜0时， 由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点 当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx， 因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确； 对于④，由上面的分析知， 当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解 ∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点 因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1． 故答案为：②③④ 点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题． 14. 已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=　    　． 参考答案： 2﹣4 【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数． 【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值． 【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=． 又tan=tan（﹣）===2﹣， ∴tan（α+）====﹣=2﹣4， 故答案为：2﹣4． 　 15. 已知，则的值为____________. 参考答案： 略 16. 若，则________ 参考答案： 【详解】由题意可得： ， 即：， 解方程可得：. 17. 在的展开式中，各项系数的和是64，那么此展开式中含项的系数为____． 参考答案： 135 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 定义在区间上的函数的图象关于直线对称， 当时，函数，其图象如图所示. （Ⅰ）求函数在的表达式； （Ⅱ）求方程的解； （Ⅲ）是否存在常数的值，使得在上恒成立；若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案： 略 19. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3成等差数列． （Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列； （Ⅱ）设bn=2an﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（Ⅰ）an+1=λSn+1（n∈N*），可得an=λSn﹣1+1（n≥2），相减可得：an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，利用等比数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）由，且a1、2a2、a3+3成等差数列．可得4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，解得λ=1，可得an，进而得到bn．再利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）证明：∵an+1=λSn+1（n∈N*），∴an=λSn﹣1+1（n≥2）， ∴an+1﹣an=λan，即an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0， 又a1=1，a2=λS1+1=λ+1， ∴数列{an}是以1为首项，公比为λ+1的等比数列， （Ⅱ）解：∵，且a1、2a2、a3+3成等差数列． ∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得λ2﹣2λ+1=0，得λ=1， ∴． ∴， ∴，==2n+1﹣2﹣n． 20. 已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设过椭圆右焦点且不平行于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）由题意知，，解得， 则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线, 联立，得， ∴. 假设轴上存在定点，使得为定值， ∴ . 要使为定值，则的值与无关，∴， 解得，此时为定值，定点为. 当直线的斜率不存在时，也满足条件.   21. （12分）已知抛物线的准线方程为，C1与直线在第一象相交于点，过作C1的切线，过作的垂线交轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作C1的切线，过作的垂线，交轴正半轴于点，…，依此类推，在轴上形成一点列A1,A2,A3，…An，设An的坐标为     （1）求抛物线的方程；  （2）试探求关于的递推关系；     （3）证明： 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意知          为所求抛物线的方程…………………………3分 （Ⅱ）由题意知直线与抛物线联立得                     切线的斜率为= 直线的斜率为 直线的方程为   令，……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知                             …………………9分 易知,直线的斜率为； 直线，令 ……………………12分 略 22. （本题满分14分） 已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sin x cos x（xR）． （Ⅰ）求的值． （Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．   参考答案： （Ⅰ）由，， ． 得 ． （Ⅱ）由与得 ． ． 所以的最小正周期是． 由正弦函数的性质得 ， 解得 ， 所以，的单调递增区间是． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y=Asin(ωx+φ)的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即 ，然后利用三角函数y=Asinμ的性质求解．