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2022-2023学年湖北省武汉市孔埠中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是虚数单位,则复数的虚部为 ( )
A. B. C. D. 1
参考答案:
C
2. 已知集合,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 设,,若,, ,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 右图是函数y=Asin(ωx+φ)(,)图像的一部分.为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(x∈R)的图像上所有的点 ( )
.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.
.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.
.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
参考答案:
A
5. 在等比数列{an}中,若a2,a9是方程x2﹣2x﹣6=0的两根,则a4?a7的值为()
A. 6 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣6
参考答案:
D
【分析】
由题意利用韦达定理,等比数列的性质,求得a4?a7的值.
【详解】∵等比数列{an}中,若a2,a9是方程x2﹣2x﹣6=0的两根,∴a2?a9=﹣6,
则a4?a7=a2?a9=﹣6,
故选:D.
【点睛】本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用,考查了分析问题的能力,属于基础题.
6. 若,且,,则的取值范围是( )
A. B.[0,2]
C. D.
参考答案:
D
7. 已知集合,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
A.1800 B.3600 C.4320 D.5040
参考答案:
B
略
9. ( )
A. B.- C. D.-
参考答案:
答案:A
10. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设(x0),
则的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
分别作出函数的图象,由图象可知,点的函数值最大,此时由,解得,所以选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量||=l,||=,且?(2+)=1,则向量,的夹角的余弦值为 .
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出.
【解答】解:∵?(2+)=1,∴,
∵,∴,化为.
∴==﹣.
故答案为:.
12. 下列命题:
(1)若函数为奇函数,则;
(2)函数的周期;
(3)方程有且只有三个实数根;
(4)对于函数,若,则.
以上命题为真命题的是 .(将所有真命题的序号填在题中的横线上)
参考答案:
略
13. 是平面上一点,是平面上不共线三点,动点满足:,已知时,. 则的最小值__________.
参考答案:
-2
14. 若,是第二象限,则_________.
参考答案:
15. 若关于x的不等式对任意恒成立,则a的取值范围是______.
参考答案:
【分析】
分离参数可得不等式对任意恒成立,设,求出函数在上的最小值后可得结果.
【详解】∵关于不等式对任意恒成立,
∴对任意恒成立.
设,则,
∴当时,单调递减;当时,单调递增.
∴,
∴.
∴实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时,常用的方法是分离参数法,即通过参数的分离,把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式,然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求.解题中常用到以下结论:恒成立或恒成立,当函数的最值不存在时,可利用函数值域的端点值来代替.
16. 的展开式中的系数是5,则 .
参考答案:
-1
的展开式中x2的系数是 ,
所以
点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.
17. 给出下列命题:
①在锐角;
②函数图象关于点对称;
③在,则必为等边三角形;
④在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有三个公共点.
其中正确命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上, ,求直线的方程.
参考答案:
(1);(2)或
试题分析:(1)由题意可设,所求椭圆的方程为,且其离心率可由椭圆的方程知,因此,解之得,从而可求出椭圆的方程为.
由,得,即
解得,故直线的方程为或 ……12分
解法二 两点的坐标分别记为
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
19. 如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天
(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
参考答案:
【考点】极差、方差与标准差;离散型随机变量的期望与方差.
【分析】(Ⅰ)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数,直接利用古典概型概率计算公式得到答案;
(Ⅱ)由题意可知X所有可能取值为0,1,2,得出P(X=0),P(X=1),p(x=2)及分布列与数学期望;
(Ⅲ)因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图直接看出答案.
【解答】解:设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”(i=1,2,…,13)
依据题意P(Ai)=,Ai∩Aj=?(i≠j)
(Ⅰ)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则P(B)=…
(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=…
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
…
∴X的数学期望为E(X)=…
(Ⅲ)从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. …
20. 设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,记,. 求数列的前项和.
参考答案:
(Ⅰ)由题意,,
代入得,消得, ……4分
,是各项都为正数的等比数列,,
进而, ……7分
(Ⅱ), ……9分
, ……10分
设,
,
相减,可得, ……12分
……14分
略
21. (1 2分) 三棱锥P-A B C 中, 底面A B C 为边长为2的正三角形, 平
面P B C⊥平面A B C, P B=P C=2, D 为A P 上一点, AD=2 D P, O 为
底面三角形中心。
(Ⅰ) 求证: B D⊥A C;
(Ⅱ) 设 M 为P C 中点, 求二面角 M-B D-O 的余弦值。
参考答案:
22. 设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的极值之和。
参考答案:
略
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