2022年北京第115中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年北京第115中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合,B=,则子集的个数是（    ） A.           B.          C.             D. 参考答案： C 2. 设函数，则是 A．最小正周期为的奇函数    B．最小正周期为的偶函数   C．最小正周期为的奇函数    D．最小正周期为的偶函数 参考答案： 解析：是周期为的偶函数，选B．   3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （   ） A．外接球的半径为  B．表面积为 C．体积为  D．外接球的表面积为   参考答案： B 4. 已知函数，且，则当时,的取值范围是 A． B． C． D．   参考答案： D 【知识点】函数的单调性、奇偶性；简单的线性规划 因为，且， 所以函数为奇函数，且在R上是增函数，所以由得 ，， 即，即，其表示圆及其内部，表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率，结合图形分析可得，直线AC的斜率最小，切线AB的斜率 最大。 【思路点拨】先由，且判断出函数的奇偶性以及单调性，再结合表示的几何意义求出范围即可。   5. 已知且，则的最大值是（     ）    A．1       B．2                C．3           D．  4 参考答案： 答案：A 6. 已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（　　） A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④ B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，h（x）﹣④ C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④ D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④ 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先由函数的奇偶性得到①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）； 再由图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），取特殊点验证即可得到答案． 【解答】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）； 图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x）， 那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）． 故选：D． 【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题． 7. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 设，，并且根据椭圆定义和焦半径的范围可知 ，且，所求式子变形为，再根据的范围求值域. 【详解】由题意可知 ， 设， ， ，且 ， ，， ， 的范围是. 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的定义和与焦半径有关范围的计算，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型. 8. 已知是复数z的共轭复数，且满足（1﹣z）（1+）=2i，则z=（　　） A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用回代验证法求解即可． 【解答】解：如果z=i，则（1﹣i）（1﹣i）=﹣2i，不满足题意； 若z=﹣i，则（1+i）（1+i）=2i，满足题意． 故选：B． 9. 已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 参考答案： C 略 10. 函数的大致图象为（    ） A                 B                 C                 D 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且，则的值为___________． 参考答案： 略 12. 函数的零点的个数为      ． 参考答案： 13. 已知集合P＝，集合Q＝，若PQ，则的最小值为       ． 参考答案： 4 画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为，所以k＝?1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以， 与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径 4，所以最小值为 4．       14. 函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是　　． 参考答案： x=﹣ 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z ）时，， 因此，当k=﹣1 时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴， 故答案为：x=﹣． 15. 设等差数列的前n项和为，若=1，则其公差为   ▲   ． 参考答案： 6　　 16. 在（1﹣2x）n的展开式中，各项系数的和是　_________　． 　 参考答案： 1或 略 17. 若函数的最大值为，则的最小正周期为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知等比数列{an}的前n项和.设公差不为零的等差数列{bn}满足： . （1）求a及bn； （2）设数列的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n的值.  参考答案： (Ⅰ) 当n＝1时，a1＝S1＝2－a．……………………1分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n-1． 所以1＝2－a，得a＝1， 所以an＝2n-1． ……………………………………………….3分 设数列{bn}的公差为d，由b1＝3，(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，得 (8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)， 故d＝0 (舍去)  或  d＝8． 所以a＝1，bn＝8n－5，n∈N*．………………………….6分 (Ⅱ) 由an＝2n-1，知＝2(n－1)． 所以Tn＝n(n－1)．………………………………………8分 由bn＝8n－5，Tn＞bn，得 n2－9n＋5＞0，……………………………………………10分 因为n∈N*，所以n≥9． 所以，所求的n的最小值为9． ………………………12分    19. (本小题满分10分)选修4— 5:不等式选讲 设函数，其中a>0. (1)当a=3时,求不等式的解集； (II)若不等式的解集为，求a的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，可化为.--------------2分 由此可得  或. 故不等式的解集为. --------------------5分 (Ⅱ) 由 得   ，此不等式化为不等式组   --------------------------7分 即 因为，所以不等式组的解集为 由题设可得，故.-----------------------------------10分 20. 如图，在四边形 中，,平分,，,的面积为，为锐角. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求 . 参考答案： (Ⅰ)在中， .                   …………2分 因为 ，所以. 因为为锐角，所以.                     …………4分 在 中，由余弦定理得                                                               所以CD的长为.                                          …………6分 (Ⅱ)在中，由正弦定理得 即 ，解得 …………8分 , 也为锐角. .                                      …………9分 在 中，由正弦定理得 即      ① 在 中，由正弦定理得 即      ② …………11分 平分 ， 由①②得 ，解得 因为为锐角，所以 .                  …………12分 21. （本小题满分10分）设的内角A，B，C所对的边分别为 （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的取值范围. 参考答案： 22.     设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．    （I）讨论f(x)的单调性；    （II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 参考答案： (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝，令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)的两根为x1＝，x2＝，当00；当x1x2时，f′(x)>0，故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a>2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(lnx1－lnx2)，所以k＝＝1＋－a·，又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a·， 若存在a，使得k＝2－a，则＝1.即lnx1－lnx2＝x1－x2.亦即x2－－2lnx2＝0(x2>1)(*)， 再由(1)知，函数h(t)＝t－－2lnt在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－－2lnx2>1－－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.