2022-2023学年重庆进盛实验中学高三数学文联考试题含解析

2022-2023学年重庆进盛实验中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】,故 故选：C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题． 2. 把函数的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值为                                                A.             B.            C.               D. 参考答案： B 3. “”是“过坐标原点”（    ） （A）充分而不必要条件             (B) 必要而不充分条件 （C）充分必要条件                         (D) 既不充分也不必要条件   参考答案： A 4. 等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为 A．7            B．8           C．9        D．10 参考答案： B 略 5. 设S＝,则不大于S的最大整数［S］等于 A、2013　　B、2014　　C、2015　　D、2016 参考答案： B ，所以 ，故，故选B． 6. 已知函数的图像关于点（-1，0）对称，且当（0，＋∞）时，，则当（-∞，-2）时的解析式为（　） 　　A．　　　 B．　　　 C．　　　D． 参考答案： 答案：B 7. 复数在复平面上对应的点位于 （     ） A.第一象限    B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 参考答案： B 8. 已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是 （A）和    （B）和    （C）和   （D）和 参考答案： C 9. 设集合，，则（   ） A． B． C．{1} D． 参考答案： C 10. 已知满足，则的最大值是(    ).  A.            B.          C.           D. 2 参考答案： 无 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若直线的倾斜角为，则          ． 参考答案： 由直线的倾斜角为知， ，故答案为.   12. 实数x、y满足，则的最小值是            。 参考答案： 1 13. 如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，5] 考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论． 解答： 解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a＜0， 设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a， 若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集， 则，即，则， 解得a≤5， 故答案为：（﹣∞，5] 点评： 本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键． 14. 抛物线y2=2x的准线方程是　 　． 参考答案： ﹣ 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案． 【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1， ∴准线方程是x=﹣ 故答案为：﹣ 　 15. 设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（﹣），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据题目给出的等式f（a）=f（﹣），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解． 【解答】解：因为f（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|， 所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1． 又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2， 于是0＜a+1＜1＜b+2． 所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+＞1． 从而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+]|=lg[6（b+2）+]． 又f（10a+6b+21）=4lg2， 所以lg[6（b+2）+]=4lg2， 故6（b+2）+=16．解得b=﹣或b=﹣1（舍去）． 把b=﹣代入（a+1）（b+2）=1解得a=﹣． 所以 a=﹣，b=﹣． a+b=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解． 16. 在平面直角坐标系中，不等式组确定的区域为，点的坐标为，为区域上的动点，则的最大值为       ． 参考答案： 4 17. 若函数f(a)＝，则等于____________. 参考答案： p＋1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 两县城A和B相距30km，现计划在两县城外位于线段AB上选择一点C建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和. 记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；且当垃圾处理厂C与城A距离为10km时对城A和城B的总影响度为0.029. (1) 将y表示成x的函数； (2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）；（2）函数在内单调递减，在内单调递增；在线段AB上存在点符合题意，该点与城的距离. 【分析】 （1）先求出垃圾处理厂对城的影响度比例系数，然后根据题意求与的函数关系； （2）应用导数求解. 【详解】⑴据题意，，， 且建在处的垃圾处理厂对城的影响度为， 对城的影响度为， 因此总影响度．         又因为当垃圾处理厂与城距离为时 对城和城的总影响度为0.029. 所以． 所以． (2)　因． 由解得． 由解得 由解得 所以，随的变化情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗   由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增， 当时，，                          故在线段AB上存在点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小， 该点与城的距离． 【点睛】本题考查函数在实际生活中应用问题.涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题，关键点在于把实际问题转化为数学关系式.   19. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x?R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ=4，OP=，PQ=． （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣1，2）时，求函数h（x）=f（x）?g（x）的值域． 参考答案： 考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，的长度，由此推理出三角函数的解析式； （2）由题意先求出g（x），h（x）的函数解析式，由x的范围求出x﹣的范围，同时结合三角函数的图象进行分析，即可求出其函数值域． 解答： 解：（1）由条件知cos∠POQ==，所以P（1，2）．  由此可得振幅A=2，周期T=4×（4﹣1）=12，又=12，则ω=． 将点P（1，2）代入f（x）=2sin（x+φ），得sin（x+φ）=1， 因为0＜φ＜，所以φ=，于是f（x）=2sin（x+）．             （2）由题意可得g（x）=2sin[（x﹣2）+]=2sinx． 所以h（x）=f（x）?g（x）=4sin（x+）?sinx=2sin2x+2sinx?cosx=1﹣cosx+sinx=1+2sin（x﹣）．                       当x∈（﹣1，2）时，x﹣∈（﹣，），所以sin（x﹣）∈（﹣1，1）， 即1+2sin（x﹣）∈（﹣1，3）．于是函数h（x）的值域为（﹣1，3）．        点评：本题主要考查了三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，考查了求解三角函数的值域，关注自变量x的取值范围是解题的关键，属于中档题． 20. （本小题满分14分） 如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示. （1）求证：; （2）求三棱锥的体积；                     （3）求DE与平面PDF所成角的正弦值                                                                         参考答案： （1）证明：依题意知图①折前,∴,∵ ，  ∴平面，又∵平面   ∴--------4分 (2)：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,- 在中， ∴--------------------7分 ∴．-----------8分 (3) 由（2）知  又     ∴平面-------10分 ∴为DE与平面PDF所成的角，-------------------------------------------11分 在中，∵,--------------12分 ∴-----------------------------------14分 21. 已知等比数列满足. （1）求数列的前15项的和； （2）若等差数列满足，，求数列的前项的和 参考答案： 解：（I）设等比数列的公比为， 由得             由得 两式作比可得，，所以，         把代入②解得，由等比数列求和公式得                （II）由（I）可得，                             设等差数列的公差为，则=2 由等差数列求和公式得      略 22. 已知数列，，，．记 ．，求证：当 时，（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ） 参考答案： (I)证明见解析；(II)证明见解析；(III)证明见解析.   试题