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2022-2023学年贵州省贵阳市牛场乡民族中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 由…若a>b>0,m>0,则与之间大小关系为 ( )
A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不确定
参考答案:
B
3. 将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 设函数,,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则;
②若方程恰好只有一个实数根,则;
③若,总有恒成立,则;
④若函数有两个极值点,则实数.
则正确命题的个数为( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
C
对于①,的定义域,,
令有即,可知在单调递减,在单调递增,,且当时,又,
从而要使得方程有两个不同的实根,即与有两个不同的交点,
所以,故①正确
对于②,易知不是该方程的根,
当时,,方程有且只有一个实数根,等价于和只有一个交点,,又且,令,即,有,知在和单减,在上单增,是一条渐近线,极小值为。
由大致图像可知或,故②错
对于③ 当时,
恒成立,
等价于恒成立,
即函数在上为增函数,
即恒成立,
即在上恒成立,
令,则,
令得,有,
从而在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
则,
于是,故③正确.
对于④ 有两个不同极值点,
等价于有两个不同的正根,
即方程有两个不同的正根,
由③可知,,即,则④正确.
故正确命题个数为3,故选.
5. “”是“直线与直线垂直”的( )条件
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
参考答案:
A
略
6. 某学校从高三全体500名学生中抽50名学生作学习状况问卷调查,现将500名学生从1到500进行编号,求得间隔数,即每10人抽取一个人,在1~10中随机抽取一个数,如果抽到的是6,则从125~140的数中应抽取的数是( )
A.126 B.136 C.146 D.126和136
参考答案:
D
略
7. 若实数x,y满足不等式组,则的最大值为( )
A.0 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
8. 设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y=},则( )
A.A?B B.A∪B=A C.A∩B=? D.A∩(?IB)≠?
参考答案:
A
【考点】18:集合的包含关系判断及应用.
【分析】化简集合A,B,即可得出结论.
【解答】解:由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞),B={x|y=}=[1,+∞),
∴A?B,
故选:A.
9. 设直线与圆交于两点,过分别作轴的垂线与轴交于两点.若线段的长度为,则( )
A.1或3 B.1或-3 C. -1或3 D.-1或-3
参考答案:
D
联立,得,则.设,则,
,解得或,此时成立,故选D.
10. 设集合,集合,则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=的值域为_________
参考答案:
(-∞,2)
略
12. △ABC中,,,,则 .
参考答案:
5
13. 从圆外一点作这个圆的切线,设两条切线之间所夹的角为,则 .
参考答案:
14. 已知,则的最小值为__________
参考答案:
18
本题考查了不等式的运算性质,考查了均值不等式中“一正、二定、三相等”的运用方法,难度中等。
由得,
则当且仅当时取“=”号,又当且仅当时取“=”号,所以.
15. 在中,,点是线段上的动点,则的最大值为_______.
参考答案:
3
【考点】数量积的应用
【试题解析】
,所以当M,N重合时,
最大,为
又设
所以
显然当时,最大为3.
故的最大值为3.
16. 定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x),且在[﹣1,0]上是增函数,下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线x=2对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数;
⑤f(4)=f(0).
其中正确的判断的序号是 .
参考答案:
①④
考点: 函数的周期性;函数单调性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 运用函数的性质的定义式判断求解,多次运用数学式子恒等变形.
解答: ∵f(x+1)=﹣f(x),∴f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),
即:f(x)是周期函数,周期为2,f(4)=f(0),
∵f(x+1)=f(﹣x+1)=﹣f(x),f(x+1)=f(﹣x+1),∴对称轴为x=1,
∵在[﹣1,0]上是增函数,∴f(x)在[0,1]减函数,在[1,2]上是增函数,
故答案为:①④
点评: 本题综合考查了抽象函数的性质,函数性质的式子的综合变形能力.
17. 执行右侧的程序框图,输出的结果S的值为 .
参考答案:
由程序框图可知,这是求的程序。在一个周期内,所以。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义在区间上的函数为奇函数且
(1)求实数m,n的值;
(2)求证:函数上是增函数。
(3)若恒成立,求t的最小值。
参考答案:
(1)对应的函数为,对应的函数为
(2) 理由如下:
令,则为函数的零点。
,
方程的两个零点
因此整数
(3)从图像上可以看出,当时,
当时,
19. 已知函数f(x)=|x﹣1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().
参考答案:
【考点】R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)易求f(x)+f(x+4)=,利用一次函数的单调性可求f(x)+f(x+4)≥8的解集;
(Ⅱ)f(ab)>|a|f()?|ab﹣1|>|a﹣b|,作差证明即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,
当x<﹣3时,由﹣2x﹣2≥8,解得x≤﹣5;
当﹣3≤x≤1时,f(x)+f(x+4)=4≥8不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.
∴不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤﹣5,或x≥3}.
(Ⅱ)证明:∵f(ab)>|a|f()?|ab﹣1|>|a﹣b|,
又|a|<1,|b|<1,
∴|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
∴|ab﹣1|>|a﹣b|.
故所证不等式成立.
20. (本小题满分14分)如图所示的多面体中, 是菱形,是矩形,平面,,.
(1) 求证:平面平面;
(2) 若二面角为直二面角,求直线与平面所成的角的正弦值.
参考答案:
(1)矩形中,--------1分
平面,平面,平面,-2分
同理平面,-------3分
又u平面∥平面------4分
(2)取的中点.
由于面, ∥,
又是菱形,是矩形,所以,是全等三角形,
所以,就是二面角的平面角-------8分
解法1(几何方法):
延长到,使,由已知可得,是平行四边形,又矩形,所以是平行四边形,共面,由上证可知, ,,相交于,平面,为所求.
由,,得
等腰直角三角形中,,可得
直角三角形中,
解法2几何方法):由,,得平面,欲求直线与平面所成的角,先求与所成的角. ------12分
连结,设则在中,,,用余弦定理知 ---14分
解法3(向量方法):以为原点,为轴、为轴
建立如图的直角坐标系,由则,
,平面的法向量, -------12分
. ---14分
21. 设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)
(1)证明:f(x)≥4;
(2)若f(2)>5,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】带绝对值的函数.
【分析】(1)运用绝对值不等式的性质:绝对值的和不小于差的绝对值,利用基本不等式即可证得结论.
(2)若f(2)>5,即|2﹣|+|2+m|>5,即有|2﹣|>3﹣m,即2﹣>3﹣m或2﹣<m﹣3.转化为二次不等式,解出即可,注意m>0.
【解答】(1)证明:∵f(x)=|x﹣|+|x+m|≥|(x﹣)﹣(x+m)|
=|﹣﹣m|=+m(m>0)
又m>0,则+m≥4,当且仅当m=2取最小值4.
∴f(x)≥4;
(2)解:若f(2)>5,即|2﹣|+|2+m|>5,
即有|2﹣|>3﹣m,
即2﹣>3﹣m或2﹣<m﹣3.
由于m>0,则m2﹣m﹣4>0或m2﹣5m+4>0,
解得m>或m>4或0<m<1.
故m的取值范围是(,+∞)∪(0,1).
22. (本小题满分14分)已知椭圆过点,且其右顶点与椭圆的右焦点重合.
求椭圆的标准方程;
设为原点,若点在椭圆上,点在椭圆上,且,求证:.
参考答案:
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