湖南省长沙市宁乡县第十中学高一数学文月考试卷含解析

湖南省长沙市宁乡县第十中学高一数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数.若，则的取值范围是 A、(－1,1)                  B、(－1,+∞)       C、(－∞, －2)∪(0,+ ∞)       D、(－∞,－1)∪(1,+∞) 参考答案： D 等价于：或，解之得， 【题文】若时，不等式恒成立，则a的取值范围是 A、(0,1)      B、(1,2)       C、(1,2]       D、[1,2] 【答案】C 【解析】 ∵函数在区间（1，2）上单调递增， ∴当x∈（1，2）时， ∈（0，1）， 若不等式恒成立， 则a＞1且1≤loga2 即a∈（1，2]， 故选：C． 2. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　） A． B．C． D． 参考答案： C 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx||sinx|=|sin2x|， 其周期为T=，最大值为，最小值为0， 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用． 3. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的 取值范围是 A．          B．             C．            D．  参考答案： A 4. 已知函数，若，则的取值范围为（  ） A．  B． C． D． 参考答案： B 5. 若函数的图像（部分）如图所示，则和的取值分别为 Ａ．   Ｂ．   Ｃ．   Ｄ． 参考答案： A 6. 已知向量，，⊥，则的值是(    ) A．－1              B．              C．－             D． 参考答案： B 略 7. 下面哪一个函数图像不经过第二象限且为增函数（　　） A．y=－2x+5  B．y=2x+5     C．y=2x－5    D． y=－2x－5 参考答案： C 8. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是(      ) A．289                B．1024             C．1225               D．1378 参考答案： C 略 9. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（      ） A、        B、        C、         D、  参考答案： A 略 10. 给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（      ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 参考答案： B 【分析】 ①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解. 【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选； ②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选； ③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选； ④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选； 综上所述，可选的序号为②③， 故选B. 【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合,,且， 则实数的取值范围是         。 参考答案：      解析：，则得 12. 已知函数，关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： (1,+∞) 由题关于x的方程有且只有一个实根 与的图象只有一个交点，画出函数的图象如图四岁所示， 观察函数的图象可知当时，与的图象只有一个交点． 故答案为(1,+∞)．   13. 若a，b是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________． 参考答案： 9 试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得 ，则． 考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q． 14. 如图：点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题： ①三棱锥的体积不变； ②∥面； ③； ④面⊥面. 其中正确的命题的序号是________． 参考答案： 略 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的最大值为_____． 参考答案： 由题得 由题得 所以,当且仅当时取等号. 所以的最大值为,故填 点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点 是得到后，如何求tanA的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA的最大值. 16. 图(2)中实线围成的部分是长方体(图(l))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为l的正方形，若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，此长方体的体积是_______. 参考答案： 17. 已知平面向量,,若为此平面内单位向量且恒成立，则的最大值是：_______       ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 关于x的不等式-(a-1)x-1<0的解集是R,求实数a的取值范围。 参考答案： 略 19. (本小题满分12分) 已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。 (I)求⊙H的方程; (Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M，N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围. 参考答案： （I）设的方程为， 因为被直线分成面积相等的四部分， 所以圆心一定是两直线的交点， 易得交点为，所以.……………………………………………………2分 又截x轴所得线段的长为2，所以. 所以的方程为.…………………………………………………4分 （II）法一：如图，的圆心，半径， 过点N作的直径NK，连结. 当K与M不重合时，， 又点M是线段PN的中点； 当K与M重合时，上述结论仍成立. 因此，“点M是线段PN的中点”等价于“圆上存在一点K使得KP的长等于的直径”. …………………………………………………………………………………………………6分 由图可知，即，即.……8分 显然，所以只需，即，解得. 所以实数的取值范围是.………………………………………………12分 法二：如图，的圆心，半径，连结， 过H作交PN于点K，并设. 由题意得， 所以，…………………………6分 又因为，所以， 将代入整理可得，………………………………………………8分 因为，所以，，解得.…………12分   20. 如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求（单位：千米），记. （1）将AN、AM用含的关系式表示出来； （2）如何设计（即AN、AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？ 参考答案： （1），；（2）. 【分析】 （1）根据正弦定理，得到，进而可求出结果； （2）由余弦定理，得到，结合题中数据，得到， 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果. 【详解】（1）因为，在中，由正弦定理可得：， 所以，； （2）由题意，由余弦定理可得： ， 又由（1）可得，所以， 当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时. 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 21. 已知函数)． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值． 参考答案： 略 22. 已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，PA⊥AC，BA=BC=PA=2，二面角P-AC-B的大小为120°. （1）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （2）求二面角P-BC-A的正切值. 参考答案： 解（Ⅰ）过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O， 连接AO、CO，则∠为所求线面角， ， 平面.则∠PAO为二面角P-AC-B平面角的补角 ∴∠，又， ，直线PC与面ABC所成角的大小为30°.     （Ⅱ）过作于点,连接，则为二面角P-BC-A的平面角， 平面,, 设与相交于, 在中， 则二面角P-BC-A的正切值为.