北京力迈学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

北京力迈学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某几何体的三视图如图所示,它的体积为（　　） A．       B．              C．       D． 参考答案： C 2. 已知函数f（x）＝sin（2πx＋φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）?的值为（  ） A．        B．        C．1        D．2 参考答案： B 试题分析：∵函数f（x）＝sin（2πx＋φ）的周期T＝＝1， 则BC＝，则C点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知：＝2? ∴（）·＝2||2＝2×（）2＝． 故选：B． 考点：正弦型函数的图象及其性质，平面向量的数量积 3. 已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则(     ) A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B 参考答案： B 【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用；集合． 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}， ∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R， 故选B． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题． 4. 已知函数，且，则等于（    ） A.－2013B．－2014C．2013D．2014 参考答案： D 当为奇数时, 当为偶数时， 所以 5. 已知各项均为正数的等比数列{an}，，则的值（　 　） 　 A． 16 B． 32 C． 48 D． 64 参考答案： D 6. 设非空集合A，B满足AB，则                                                       A．∈A，使得xo∈B                                 B．A,有 x∈B       C．∈B，使得xoA                                 D．B,有x∈A 参考答案： B 7. 函数f（x）=的定义域为(     ) A．（0，2） B．（0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】分析可知，，解出x即可． 【解答】解：由题意可得，， 解得，即x＞2． ∴所求定义域为（2，+∞）． 故选：C． 【点评】本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题． 8. 正项等比数列{}的公比q≠1，且，，成等差数列，则的值为（ 　 ） A．    B．　    C．　　 D．或 参考答案： B 略 9. 过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) 参考答案： D 10. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 （    ） A.     B.    C.    D. 参考答案： 【知识点】定积分与微积分基本定理；几何概型. B13  K3 【答案解析】C  解析：阴影部分的面积为 ，所以 点P恰好取自阴影部分的概率为：. 【思路点拨】根据微积分基本定理与几何概型公式求解. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则的最小值为           .             参考答案： 12. 设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______． 参考答案： 13. 从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是　　 参考答案： 略 14. 若在(－∞,+∞)不是单调函数，则a的范围是      ． 参考答案： (－∞,－1)∪(1,+∞) ，由于函数在不是单调函数，因此 ，解得或.   15. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：                                                                                ； 参考答案： 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 16. 在中,分别为的对边,若,且的面积为,则角________ 参考答案： 17. 如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为　　． 参考答案： ﹣1 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得． 【解答】解：∵△F2AB是等边三角形， ∴∠AF2F1=30°， ∵|F1F2|=2，∴|AF1|=1，|AF2|=， ∴a=， ∴2a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知向量，．   (1)当时，求的值；   (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为， 若，，，求（）的取值范围. 参考答案： 【知识点】解三角形C8 【答案解析】(1) (2) （2） 解析：（1）            （2）+ 由正弦定理得或 因为，所以     ,, 所以         【思路点拨】先化简求出（1）结果，再跟据正余弦定理求出A根据角范围求出结果 19. 已知函数f（x）=，直线y=x 为曲线y=f（x）的切线． （1）求实数a的值； （2）用min{m，n}表示m，n中的较小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围． 参考答案： 【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1； （2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=， 设切点为（m，n），即有n=，n=m， 可得ame=em，① 由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，② 由①②解得m=1，a=1； （2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0）， 由f（x）=的导数为f′（x）=， 当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减． 对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0）， 由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2， 当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣， h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx， 由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立， 即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减， 可得2c≤+① 当x≥x0时，g（x）=， h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx， 由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立， 即有2c≤，由y=，可得y′=， 可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减， 即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣． 可得2c≤﹣②， 由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣． 20. 已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）． （Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式； （Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m﹣1）与f（3﹣m）的大小； （Ⅲ）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0，利用f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2），可求函数的解析式； （Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，从而可得当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）； （Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立，从而有对x∈[m，10]恒成立，由此可求适合题意的最小整数m的值． 【解答】解：（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0， ∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2） ∴f（x）=f（﹣x）=ln（﹣x+2）… （Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f（m﹣1）＞f（3﹣m） 所以|m﹣1|＞|3﹣m| 所以（m﹣1）2＞（3﹣m）2 所以m＞2… 所以当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）… （Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）2， 即|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立… 从而有对x∈[m，10]恒成立，因为m≥﹣2， 所以… 因为存在这样的t，所以﹣m2﹣7m﹣7≤m2+5m+7，即m2+6m+7≥0… 又m≥﹣2，所以适合题意的最小整数m=﹣1… 21. 已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）当时，求证：． 参考答案： （1）π；（2）见解析. 【分析】 （1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期． （2）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域． 【详解】（1）==. 所以f（x）的最小正周期． （2）证明：因为，即， 所以f（x）在上单调递增． 当时，即时，． 所以当时，． 22. (本小题满分12分) 已知直线所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到F的最小距离为2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知圆O：，直线:,当点在椭圆C上运动时，直线与圆O是否相交于两个不同的点A,B？若相交，试求弦长|AB|的取值范围，否则说明理由. 参考答案： （1）由已知得，所以F(3,0)-------------------------2分         设椭圆方程C为，则解得---------4分         所以椭圆方程为--------------------------------------5分    （2）因为点，在椭圆C上运