2022年黑龙江省哈尔滨市新兴中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022年黑龙江省哈尔滨市新兴中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. (   ) A. B. 2 C. D. 参考答案： A 【分析】 将定积分分为前后两部分,前面部分奇函数积分为0,后面部分转换为半圆,相加得到答案. 【详解】 【点睛】本题考查了定积分计算的两个方法,意在考查学生的计算能力和转化能力. 2. 已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=（　　） A．± B．± C．1或7 D．4± 参考答案： D 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4的圆心C（1，a），半径R=2， ∵直线和圆相交，△ABC为等边三角形， ∴圆心到直线的距离为Rsin60°=， 即d==， 平方得a2﹣8a+1=0， 解得a=4±， 故选：D 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键． 3. 以下说法正确的是(     ) A．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 参考答案： B 考点：分析法和综合法． 专题：证明题． 分析：利用综合法证题思路（执因索果）与分析法的证题思路（执果索因）及充分条件与必要条件的概念即可得到答案． 解答： 解：设已知条件为P，所证结论为Q， 综合法的证题思路为执因索果，即P?Q1?Q2?…?Qn?Q， ∴在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故A错误，B正确； 分析法的证题思路是执果索因，即Q?Qn?…?Q2?Q1?P 显然，在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故C错误； 在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的充分条件． 故选B． 点评：本题考查分析法与综合法的应用，考查充分条件与必要条件的概念，属于中档题． 4. 设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. 在同一坐标系中，方程与的曲线大致是 参考答案： D 略 6. 椭圆上的两点A、B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（    ） A.           B.         C.         D. 参考答案： D 7. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（    ） A．假设三内角都不大于60度            B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至少有一个大于60度   D．假设三内角至多有二个大于60度   参考答案： B 略 8. 椭圆的焦距为 A．1         B．2       C．3       D．4 参考答案： B 9. 曲线在点处的切线方程为（    ） A.         B.    C.      D. 参考答案： C 略 10. 若二面角α﹣L﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（　　） A． B．2 C．2 D．2 参考答案： A 【考点】二面角的平面角及求法． 【分析】设过P，C，D的平面与l交于Q点，可以证出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α﹣l﹣β的平面角，PQ是P到l的距离．且PQ是△PDC的外接圆的直径，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线l的距离． 【解答】解：设过P，C，D的平面与l交于Q点． 　　 由于PC⊥平面α，l?平面M，则PC⊥l， 同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P， ∴l⊥面PCQD于Q． 又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD ∴DQ⊥l，CQ⊥l． ∴∠DQC是二面角α﹣l﹣β的平面角． ∴∠DQC=60° 且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离． 在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90° ∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径． 在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°﹣60°=120°， 由余弦定理得 CD2=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，CD= 在△PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=． ∴点P到直线l的距离为 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知下列命题: (1)若∥∥,则∥; (2)若,则; (3) .则假命题的序号为__________ 参考答案： 12. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，…，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是      ． 参考答案： 6   13. 已知成等差数列，成等比数列，则的值为      参考答案： 90        14. 已知f（x）=x3﹣2x，过点（1，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围为　    　． 参考答案： （﹣2，﹣1）． 【分析】设切点为（），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（x0），利用点斜式写出切线方程，将点（1，m）代入切线方程，可得关于x0的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2，令g（x）=2x3﹣3x2，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=﹣2﹣m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围． 【解答】解：设切点为（）， 由f（x）=x3﹣2x，得f′（x）=3x2﹣2， ∴． 则切线方程为． 把（1，m）代入，可得m=． ∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线， ∴方程m=有三个不同的根， 令g（x）=2x3﹣3x2， ∴g′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1， 当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0， ∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0， 当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=﹣1， 关于x0的方程m=有三个不同的根， 等价于y=g（x）与y=﹣2﹣m的图象有三个不同的交点， ∴﹣1＜﹣2﹣m＜0， ∴﹣2＜m＜﹣1， ∴实数m的取值范围为（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 15. 如图算法中，输出S的值是           参考答案： 52 略 16. 5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的         条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 参考答案： 必要不充分 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】方程思想；数学模型法；简易逻辑． 【分析】方程的曲线表示椭圆?（k﹣5）（6﹣k）＞0，k﹣5＞0，k﹣5≠6﹣k，解出即可判断出． 【解答】解：方程的曲线表示椭圆?（k﹣5）（6﹣k）＞0，k﹣5＞0，k﹣5≠6﹣k，?5＜k＜6，且k≠5.5． ∴5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 【点评】本题考查了充要条件的判定、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 若，则___________． 参考答案： 【分析】 先化简已知得，再利用平方关系求解. 【详解】由题得，因为，所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 判断下列命题是否正确，并说明理由： (1）共线向量一定在同一条直线上。                          (2）所有的单位向量都相等。                                  (3）向量共线，共线，则共线。           (4）向量共线，则                              (5）向量，则。                           (6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 参考答案： （1）错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。 (2）错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。 (3）错。注意到零向量与任意向量共线，当为零向量时，它不成立。（想一想：你能举出反例吗？又若时，此结论成立吗？） (4）对。因共线向量又叫平行向量。 (5）错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。 (6）错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。 19. 已知内接于圆：+=1（为坐标原点）， 且3+4+5=。 (I）求的面积； (Ⅱ）若，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为， 判断的取值范围。 (Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点的坐标。 参考答案： （1）由3+4+5= 0得3+5= ， 平方化简，得·=，所以=， 而所以=。    的面积是==。 (2）由（1）可知=，得为钝角，      又或=，      所以或， (3）由题意，C点的坐标为，进而， 又，可得 ，于是有 当时，， 所以 从而。   当时，， 所以 从而。   综上，点的坐标为或。  20. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.设M点极坐标为，且，，. （Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）①求M点的直角坐标； ②若直线l与曲线C交于A，B两点，求. 参考答案： （Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①② 【分析】 （Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答. 【详解】解（Ⅰ）， 曲线 （Ⅱ）①，，. ②将代入，得， ，， . 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 21. 已知． （1）讨论的单调性； （2） 若，为的两个极值点，求证：． 参考答案： （1）见解析（2）见解析 【分析】 （1）求出定义域以及导数，分类讨论，利用导数的正负讨论函数的单调性； （2）结合（1）可得极值点，为的两个不相等的正实数根，利用根与系数关系写出，的关系式，代入进行化简，可知要证，即证，令函数，利用导数求出函数的单调区间以及最值，即可证明. 【详解】(1) ，            令，对称轴为， ①当，即时，的对称轴小于等于0，又，所以在上恒成立，故 ，在上单调递增．