2022年陕西省西安市美术中学高一数学理测试题含解析

2022年陕西省西安市美术中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】利用正三棱柱的性质找出AD在平面AA1C1C内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值． 【解答】解：如图，取C1A1、CA的中点E、F， 连接B1E与BF，则B1E⊥平面CAA1C1， 过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1， 连接AH，则∠DAH为所求的 DH=B1E=，DA=， 所以sin∠DAH==； 故选A． 2. 过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B．  C． D． 参考答案： A 略 3. 不等式表示的平面区域是一个 （A）三角形 （B）直角三角形 （C）梯形 （D）矩形 参考答案： C 4. 10．已知函数，则函数的定义域为(     ) A．[0，+∞） B．[0，16] C．[0，4] D．[0，2] 参考答案： B 考点：函数的定义域及其求法． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，可求2﹣x的值域，即函数f（x）的定义域，再令∈[0，4]，即可求得函数y=f（）的定义域． 解答：解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2， 即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]， 即函数f（x）的定义域为[0，4]， 令∈[0，4]，解得x∈[0，16]． 则函数y=f（）的定义域为[0，16]． 故选B． 点评：本题考查抽象函数定义域的求法，属中档题，注意理解函数f（x）的定义域与函数f[g（x）]定义域的区别． 5. 已知集合，，则集合（  ）        、     、     、   、 参考答案： D 略 6. 若则是(　) 第一象限角　　第二象限角     第三象限角    第四象限角 参考答案： B 7. 设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=( ) A．[0,2]             B．[1,2]           C．[0,4]             D．[1,4] 参考答案： A 8. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．f（x）=x2和f（x）=（x+1）2 B．f（x）=和f（x）= C．f（x）=logax2和f（x）=2logax D．f（x）=x﹣1和f（x）= 参考答案： B 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可． 【解答】解：对于A，f（x）=x2和f（x）=（x+1）2的对应关系不同，不是同一函数； 对于B，f（x）==1（x＞0）和f（x）==1（x＞0），定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，f（x）=logax2=2loga|x|（x≠0）和f（x）=2logax（x＞0），定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于D，f（x）=x﹣1（x∈R）和f（x）==|x﹣1|（x∈R），对应关系不同，不是同一函数； 故选：B． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题． 9. （   ） A.     B.     C.     D. 参考答案： B 由诱导公式得 故选. 10. 已知，，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）． A．(－3,0,0) B．(0,－3,0) C．(0,0,－3) D．(0,0,3) 参考答案： C 解：设点，则 ∵，，点M到A、B两点的距离相等， ∴， ∴， ∴M点坐标为． 故选C．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则f（x）=　　． 参考答案： x2+4x+5（x≥﹣1） 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】换元法． 【分析】求解析式常用方法：换元法、待定系数法、方程组法．根据题意选择用换元法求该函数的解析式． 【解答】解：设，则t≥﹣1， 所以== 可变形为f（t）=t2+4t+5 所以f（x）=x2+4x+5（x≥﹣1）． 【点评】该题考察函数解析式的求解中的换元法，注意换元时是将看成一个整体换元． 12. 某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】根据几何体的正视图，对4个选项进行分析，即可得出结论． 【解答】解：根据几何体的正视图，得； 当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A； 当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，求圆柱的高与底面圆直径都为直方图的棱长时， 俯视图是B； 当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球，其俯视图是C； D为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立． 故选：D． 13. 函数的定义域为                  参考答案： 14. 已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为          参考答案：    15. 函数的最大值为    ▲     ． 参考答案： 略 16. 函数f（x）=x2﹣2x的单调增区间是　　　　　　． 参考答案： [1，+∞） 考点：二次函数的性质．  专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由题意知函数f（x）=x2﹣2x的图象开口向上，且对称轴为x=1，从而写出单调增区间． 解答：解：函数f（x）=x2﹣2x的图象开口向上，且对称轴为x=1； 故函数f（x）=x2﹣2x的单调增区间是[1，+∞）； 故答案为：[1，+∞）． 点评：本题考查了二次函数的性质判断，属于基础题． 17. 比较大小：403（6）        217（8） 参考答案： > 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （Ⅰ）判断函数的奇偶性； （Ⅱ）求证：函数在(0,+∞)为单调增函数； （Ⅲ）求满足的的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）解，所以为奇函数； （Ⅱ）任取， 所以在为单调增函数； （Ⅲ）解得，所以零点为， 当时，由（Ⅱ）可得的的取值范围为，的的取值范围为，又该函数为奇函数，所以当时，由（Ⅱ）可得的的取值范围为，综上：所以 ?解集为 19. 已知全集为R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜3}，求A∩B；A∪B；?RA． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算．  【专题】集合． 【分析】求解一元二次不等式化简A，然后直接利用交、并、补集的混合运算得答案． 【解答】解：∵全集为R，且A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}，B={x|1＜x＜3}， ∴A∩B=（2，3）； A∪B=（﹣∞，0）∪（1，+∞）； ?RA=[0，2]． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题． 20. 如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．  (1)求证：AP∥平面EFG； (2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明． 参考答案： (1)证明　∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD∥AB. 又EF?平面PAB，AB?平面PAB， ∴EF∥平面PAB. 同理：EG∥平面PAB. ∴平面EFG∥平面PAB. 又∵AP?平面PAB， ∴AP∥平面EFG. (2)解　取PB的中点Q，连结AQ，QD， 则PC⊥平面ADQ. 证明如下： 连结DE，EQ， ∵E、Q分别是PC、PB的中点， ∴EQ∥BC∥AD. ∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC， ∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AD， 又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC. ∴AD⊥PC. 在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点． ∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ， 即PC⊥平面ADQ. 21. 定义在上的单调函数满足，且对任意都有 （1）求证：为奇函数； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）证明：∵ …………………① 令，代入①式，得即 令，代入①式，得，又 则有即对任意成立， 所以是奇函数. （Ⅱ）解：，即，又在上是单调函数， 所以在上是增函数. 又由（1）是奇函数. ，即对任意成立. 令，问题等价于对任意恒成立. 令其对称轴. 当时，即时，，符合题意； 当时，对任意恒成立 解得 综上所述，对任意恒成立时， 实数的取值范围是：. 略 22. 已知． 求和的值． 参考答案： 解：由，得， 所以；　　　　　　　　　　　　　      （7分） 又，即，得 解得：或． （14分） 略