2022-2023学年湖南省岳阳市文星中学高一数学文测试题含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市文星中学高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U={1，2，3，4}且?UA={2}，则集合A的真子集的个数为（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 参考答案： B 【考点】子集与真子集． 【分析】根据?UA={2}，确定集合A={1，3，4}，然后确定集合A的真子集的个数． 【解答】解：∵?UA={2}，全集U={1，2，3，4}， ∴集合A={1，3，4}， ∵集合A含有3个元素， ∴其真子集的个数为23﹣1=7个． 故选：B． 2. = A. B. C. D. 参考答案： D 原式===，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3. 在中,若则是（   ） A、直角三角形           B、等边三角形  C、等腰三角形           D、等腰直角三角形 参考答案： A 4. 已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　） A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 参考答案： B 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案． 【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入， 而xn+1为世界首富的年收入 则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn， 故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大， 但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大 故选B 【点评】本题考查的知识点是方差，平均数，中位数，正确理解平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，是解答本题的关键，另外，根据实际情况，分析出xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，也是解答本题的关键． 　 5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯： A. 281盏 B. 9盏 C. 6盏 D. 3盏 参考答案： D 【分析】 设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解． 【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列， 所以，解得， 即塔的顶层共有3盏灯，故选D． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6. 在△中，则的值等于 （   ） A.        B.           C．         D. 参考答案： A 略 7. 在区间 [,]上随机取一个x，则sinx的值介于与之间的概率为 (   ) A．         B．       C.         D． 参考答案： B 8. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是 （    ） A． B． C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线所成的角为定值 参考答案： ,所以A正确；；易证B选项正确；可用等积法求得C正确；D错误。选D. 9. 已知等差数列中，，则的值是 (　　) A．10             B．12               C．8                D．16 参考答案： B 10. 定义，若，关于函数的四个命题：①该函数是偶函数；②该函数值域为；③该函数单调递减区间为；④若方程恰有两个根，则两根之和为0.四个命题中描述正确的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： D 【分析】 根据的定义可求得，从而得到函数图象；由图象可判断函数为偶函数、值域为，单调递减区间为；根据与两交点关于轴对称可知两根之和为，从而得到结果. 【详解】当时，；当时，或 可得函数图象如下图所示： 图象关于轴对称    为偶函数，①正确 由图象可知，值域为，单调递减区间为，②③正确 当与有两个交点时，交点关于轴对称，即两根之和为，④正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据新定义处理函数性质、值域、方程根的问题，关键是能够理解新定义的含义，得到函数的解析式和图象，利用数形结合来进行求解. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为　    　． 参考答案： [1，10] 【考点】二次函数在闭区间上的最值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数f（x）的解析式，利用二次函数的性质求得函数的最值，从而求得函数的值域． 【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]， 则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10， 故该函数值域为[1，10]， 故答案为[1，10]． 【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题． 12. 若函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a恰有3个零点，则a=　　． 参考答案： 4 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题． 分析： 先画出y=|4x﹣x2|图象，为y=4x﹣x2图象在x轴上方的不变，x轴下方的沿x轴翻折，此时y=|4x﹣x2|图象与x轴有2个交点，若把图象向上平移，则与x轴交点变为0个，向下平移，则与x轴交点先变为4个，再变为3个，最后变为2个，所以，要想有3个零点，只需与x轴有3个交点即可． 解答： 解：∵利用含绝对值函数图象的做法可知， 函数y=|4x﹣x2|的图象，为y=4x﹣x2图象 在x轴上方的不变，x轴下方的沿x轴翻折， ∴y=|4x﹣x2|图象与x轴有两个交点，为（0，0）和（4，0）原来的顶点经过翻折变为（2，4） f（x）=|4x﹣x2|﹣a图象为y=|4x﹣x2|图象发生上下平移得到，可知若把图象向上平移，则与x轴交点变为0个，向下平移，当平移的量没超过4时，x轴交点为4个，当平移4个单位长度时，与x轴交点变为3个，平移超过4个单位长度时，与x轴交点变为2个， ∴当a=4时，f（x）=|4x﹣x2|﹣a图象与x轴恰有3个交点，此时函数恰有3个零点． 故答案为4 点评： 本题考查了含绝对值的函数图象的做法，为图象题，解题时须认真观察，找到突破口． 13. 对于以下4个说法：①若函数在上单调递减，则实数；②若函数是偶函数，则实数；③若函数在区间上有最大值9，最小值，则；④的图象关于点对称。其中正确的序号有      ▲      。 参考答案： 略 14. 函数的单调递增区间            . 参考答案： (2,5) 15. （4分）函数f（x）=2x2+3x﹣1的单调递增区间为 函数y=tanx的定义域是          ，值域是          ． 参考答案： {x|}, R. 考点： 正弦函数的定义域和值域；正弦函数的图象；正切函数的定义域． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由正弦、正切函数的定义域、值域直接写出答案即可． 解答： 正弦函数y=sinx的定义域是R，值域是； 正切函数y=tanx的定义域是{x|}，值域是R， 故答案为：R；；{x|}；R． 点评： 本题考查三角函数的定义域和值域，属于基础题． 16. 根据如图所示的伪代码，输出的结果S为  ▲  .       参考答案： 17. 函数f（x）=的零点个数是　   　． 参考答案： 2 【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用． 【分析】利用分段函数分别求解函数的零点，推出结果即可． 【解答】解：当x＞0时，log2（x+1）=0，解得x+1=1，x=0舍去． 当x≤0时，﹣x2﹣2x=0，解得x=﹣2或x=0， 函数f（x）=的零点个数是2个． 故答案为：2． 【点评】本题考查函数的零点个数的求法，函数与方程根的关系，考查计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. ( 本小题满分12分) 设数列 是公比小于1的正项等比数列，为数列的前项和，已知 ，且 成等差数列。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，且数列是单调递减数列，求实数的取值范围。 参考答案： （1）由题可设：，且 ……………………2分 成等差数列，所以 ，所以，所以    ……………………4分 所以数列的通项公式为：； ……………………6分 （2）， 由，得，……………………8分 即，所以          ……………………10分 故 .                        ……………………12分 19. 已知定义在R上的函数f（x）=（a∈R）是奇函数，函数g（x）=的定义域为（﹣1，+∞）． （1）求a的值； （2）若g（x）=在（﹣1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）根据单调性的定义判断m的范围即可；（3）根据根域系数的关系，通过讨论△的符号，求出m的范围即可． 【解答】解：（1）∵函数是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴得a=0； （2）∵在（﹣1，+∞）上递减， ∴任给实数x1，x2，当﹣1＜x1＜x2时，g（x1）＞g（x2）， ∴， ∴m＜0； （3）由（1）得， 令h（x）=0，即， 化简得x（mx2+x+m+1）=0， ∴x=0或 mx2+x+m+1=0， 若0是方程mx2+x+m+1=0的根，则m=﹣1， 此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为1，不符合题意， ∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点， 等价于方程mx2+x+m+1=0（※）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实根， ①当△=12﹣4m（m+1）=0时，得， 若，则方程（※）的根为，符合题意； 若，则与（2）条件下m＜0矛盾，不符合题意， ∴， ②当△＞0时，令h（x）=mx2+x+m+1， 由，得﹣1＜m＜0， 综上所述，所求实数m的取值范围是． 【点评】本题考查了函数的单调性问题、奇偶性问题，是一道中档题． 20. 已知二次函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1. (1)求函数的解析式； (2)设.若在时恒成立，求的取值范围. 参考答案： (1)∵                            ∴函数的图象的对称轴方程为