2022年福建省泉州市石狮永宁中学高二数学理期末试题含解析

2022年福建省泉州市石狮永宁中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是 A．       B．          C．         D． 参考答案： A 2. 点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值． 【解答】解：∵P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离 故当P点位于AF上时，点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和最小 此时|PA|+|PF|=|AF|= 故选D 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键． 3. 对于在上可导的任意函数，若其导函数为，且满足，则必有（    ） A．        B．      C．        D． 参考答案： C 试题分析：当时，，当时，，所以当时，函数取得最小值，或是函数满足，函数是常函数，所以，，即，故选C. 考点：导数与函数的单调性 4. 函数y＝cosx·tanx的值域是(　　) A．(－1,0)∪(0,1)  B．[－1,1] C．(－1,1)  D．[－1,0]∪(0,1) 参考答案： C 5. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为， 即，．给出如下四个结论： ① ；     ② ；　     ③ ； ④ 当且仅当“” 整数属于同一“类”． 其中，正确结论的个数为． 　　　A．     B．　　　 C．       D． 参考答案： C 略 6. 为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8:00-10:00的点击量。茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为，方差分别为,则（   ） A.               B. C.                D. 参考答案： D 略 7. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） . . . . 参考答案： D 略 8. 已知a表示直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若a∥α，a∥β，则α∥β B．若a?α，a∥β，则α∥β C．若a⊥α，a⊥β，则α⊥β D．若a?α，a⊥β，则α⊥β 参考答案： D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可． 【解答】解：A．若a∥α，a∥β，则α∥β不一定成立，可能相交，故A错误， B．若a?α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误， C．若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故C错误， D．若a?α，a⊥β，则α⊥β，正确，故D正确， 故选：D 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础． 9. 已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且?=﹣6，则椭圆E的离心率是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：椭圆的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设F1（c，0），F2（﹣c，0），则=（3﹣c，1），=（3+c，1），利用?=﹣6，求出c，根据椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点P（3，1），可得，求出a2=18，b2=2，即可求出椭圆E的离心率． 解答： 解：设F1（c，0），F2（﹣c，0），则=（3﹣c，1），=（3+c，1）， ∴?=9﹣c2+1=﹣6， ∴c=4， ∴a2﹣b2=16， ∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点P（3，1）， ∴， ∴a2=18，b2=2， ∴e===， 故选：D． 点评：本题考查了椭圆的方程与性质，考查学生分析问题的能力，求出a，b，即可求出椭圆E的离心率． 10. 已知数列{an}是等差数列，满足，下列结论中错误的是（    ） A． B．最小 C． D． 参考答案： B 由题设可得，即，所以答案D正确； 由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确； 又，故答案C正确． 所以答案B是错误的，应选答案B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3 表示的平面区域内，则m=          。 参考答案： -3 12. 直线与直线互相垂直，则=______________ 参考答案： 0 13. 如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是__________． 参考答案： 解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点 则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示： 设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45° ∴QM=QN=a PM=PN=a 又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形 则MN=a 解三角形QMN易得∠MQN=90° 故答案为：90° 考点：与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题；压轴题． 分析：本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案． 解答：解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点 则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示： 设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45° ∴QM=QN=a PM=PN=a 又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形 则MN=a 解三角形QMN易得∠MQN=90° 故答案为：90° 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算” 14. 由数字1,2,3,4,5,6组成可重复数字的三位数中，各位数字中不同的偶数恰有两个（如：124,224,464,……）的三位数有        个（用数字作答）． 参考答案： 72 略 15. 复数的实部为_______. 参考答案： 1 试题分析：复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1． 故答案为：1． 考点：复数代数形式的乘除运算． 16. 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为        件. 参考答案： 1800 17. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为         . 参考答案： 112 由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人， 所以不同的抽取方法共有种．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题；空间角． 【分析】连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，利用线段成比例证出EG∥CD且FG∥AB，可得EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．分别算出EG、FG的长，在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°，即可得出AB与CD所成的角的大小． 【解答】解：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG， ∵在△BCD中，=，∴EG∥CD  同理可证：FG∥AB ∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角． ∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG==1． 又∵在△ABD中，FG∥AB，AB=3，FG：AB=2：3，∴FG==2． 在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=， ∴由余弦定理，得， ∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的锐角为60°． 因此，AB与CD所成的角为60°． 【点评】本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角大小．着重考查了空间平行线的判定与性质、余弦定理和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题． 19. 用数学归纳法证明：． 参考答案： 见解析 【分析】 先验证时等式成立，再假设成立，只需证明当时，等式成立即可. 【详解】（1）当时，左边，右边． ∴左边=右边，故当时，结论成立； （2）假设结论成立，即， ∴ ， ∴当时，结论成立， 故对任意，结论都成立． 【点睛】本题主要考查等数学归纳法的应用，属于难题. 利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.   20. （本小题满分14分）已知为椭圆上的三个点，为坐标原点. （Ⅰ）若所在的直线方程为，求的长； （Ⅱ）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由. 参考答案： （Ⅰ）由   得， 解得或，                                       ………………2分 所以两点的坐标为和，                     ………………4分 所以.                                           ………………5分 （Ⅱ）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则， 因为，在线段上，所以，求得，……6分 所以的面积等于.                    ………………7分 ②若B不是椭圆的左、右顶点，设，， 由   得，        ………………8分 ，，                  所以，的中点的坐标为，              ………………9分 所以，代入椭圆方程，化简得.  ……………10分 计算 …………11分           .                                     ………………12分     因为点到的距离.                      ………………13分 所以，的面积. 综上，面积为常数.                                 ………………14分 21. 选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| （1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集； （2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含