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湖南省2022年高中学业水平合格考模拟试卷(三)
数学试卷
本试卷包括选择题和非选择题两部分,共4页。时量90分钟,满分100分。
一、选择题:本大题共18小题,每小题3分,共54分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1.正确表示图中阴影部分的是( )
A.M∪N B.M∩N
C.(M∪N) D.(M∩N)
1.B 图中阴影部分为M的补集与集合N相交的部分,即 .故选B.
2.( )
A. B. C. D.
2.A .故选A.
3.化简的结果为( )
A. B. C. D.
3.B .故选B.
4.下列函数中为奇函数的是( )
A.y= cosx B.y=|x|+1
C.y=x3 D.
4.C 对于A,,则,所以函数为偶函数,故A错误;
对于B,,则,所以函数为为偶函数,故B错误;
对于C,,则,所以函数为奇函数,故C正确;
对于D,,定义域为,所以函数不具有奇偶性,故D错误.
故选C.
5.( )
A. B. C. D.
5.B .故选B.
6.下列区间中,函数的单调递增区间是( )
A.(0,) B.(,) C.(,π) D.(,2π)
6.C ,令,可得,令可得:,因为,
故选项C正确;选项ABD都不符合题意.故选C.
7.函数的零点所在一个区间是
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
7.B 由,,可得的零点所在一个区间是(-1,0).故选B.
8.设集合,,则( )
A. B. C. D.
8.C 由有意义,得,解得,所以,
.故选C.
9.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.为奇函数 B.当时,恒成立
C.的最大值是 D.的最小值是
9.D 由题意,函数,其的定义域为,关于原点对称,
又由,
所以函数为上的偶函数,所以A不正确;
令,此时满足,且,,
可得,所以B不正确;
由函数,
因为,所以,
所以,所以C错误;
由在时同时取得最大值,
所以函数在时取得最小值,最小值为,所以D正确.
故选D.
10.一商场在某日促销活动中,对9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为( )
A.万元. B.万元. C.万元. D.万元.
10.B 由题意可得9时至10时的频率为 ,故根据9时至10时的销售额为2.5万元可得9时至14时的销售额为万元,而11时至12时的频率为 故11时至12时的销售额为万元.故选B
11.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线与的位置关系为( )
A.相交 B.平行 C.异面并且垂直 D.异面但不垂直
11.D将展开图还原成正方体,由下图可知,直线与的位置关系是:异面.连接BE,则,或其补角即为直线与的夹角,,所以直线与不垂直.故选D.
12.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面积为,则球的体积为( )
A. B. C. D.
12.B 设球的半径为,平面截球体所得的圆的半径为,则由题可得,解得,所以,所以球的体积为.故选B.
13.已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
13.A ,,,
, 所以,即,所以.故选A.
14.下列说法错误的是( )
A.经过同一直线上的3个点的平面有无数个
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.若直线a不平行于平面,且,则内不存在与a平行的直线
D.若a,b是两条直线,,是两个平面,且,,则a,b是异面直线
14.D 对于A:经过同一直线上的3个点的平面,即为经过一条直线的平面有无数个.故A正确;
对于B:两两相交且不共点的三条直线有三个不共线的交点,由公理3,三个不共线的点确定一个平面 .故B正确
对于C:若直线a不平行于平面,且,则a与相交,所以内不存在与a平行的直线.故C正确;
对于D:取反例:若平面,平面,由面面平行的性质,可得 a//b.故D错误.
故选D
15.下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
15.D 对于A选项,当时,不等式显然不成立,故错误;
对于B选项,成立的条件为,故错误;
对于C选项,当时,不等式显然不成立,故错误;
对于D选项,由于,故,正确.
故选D.
16.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,产生了3个随机数作为一组,得到了下列随机数表:
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
则这三天中恰有一天下雨的概率大约是( )
A.5% B.10% C.45% D.90%
16.C 三天中恰有一天下雨的次数为: ,共次,
所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为.故选C
17.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征,如函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
17.D 由定义域为,则,所以为奇函数,排除A、C;而,故在上不递减,排除B.故选D.
18.在正三棱锥中,,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
18.A 如图:取AC的中点F,连结EF.
因为为中点,所以.所以,(或其补角)为异面直线与所成角.取DC的中点G,连结AG,则,在中,,所以,所以.在中,,由余弦定理得:,所以.在底面正三角形BCD中,因为,为中点,所以.在中,,,,由余弦定理得:.所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分
19.根据一则社会调研,成人患糖尿病的比率为10%,某城市有200万人,估计有______人患有糖尿病.
【答案】20万 成人患糖尿病的比率为患糖尿病的人数与总人数的比值,则患糖尿病的人数应为总人数与比率的乘积,所以患糖尿病的人数为:(万人).
20.函数的最小正周期为_____________.
【答案】 函数的最小正周期为:,
21.在空间中,“△ABC的三个顶点到平面距离相等”是“平面平面ABC”成立的______条件.(填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“要作充分也非必要”)
【答案】必要非充分 当不在平面同侧时,到平面的距离也可能相等,即△ABC的三个顶点到平面距离相等,平面与平面ABC可能相交.
故充分性不成立;当平面平面ABC时,到平面的距离必相等,所以必要性成立.
22.已知菱形的边长为,点分别在边上,且满足,则___________.
【答案】 因为,所以点分别为边的中点,所以,因为菱形的边长为,所以,所以.
三、解答题:本大题共3小题,共30分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
23.某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况,对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查,调查结果如表:
锻炼时长/h
5
6
7
8
9
男生人数
1
2
4
3
4
女生人数
3
8
6
2
1
(1)试根据上述数据,求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;
(2)试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小.(直接写出结果)
解:(1)女生在该周的平均锻炼时长:
(小时).
(2),
男生在该周的平均锻炼时长:
(小时).
故,
,故.
24.已知函数的周期为,且图像上一个最低点为.
(1)求的解析式;
(2)当时,求函数的最值以及取得最值时x的值.
解:(1)因为函数的周期为,且图像上一个最低点为,
所以,,,解得,
由于,所以,
所以的解析式为
(2)因为,所以,
所以当时,即时,取得最小值;
当,即时,取得最大值1.
25.如图,已知是棱长为3的正方体,点E在上,点F在上,G在上,且.H是的中点.
(1)求证:B、E、、F四点共面;
(2)求证:平面平面.
解:(1)如图:在上取一点N使得,连接CN,EN,则,则,
又∵,∴四边形是平行四边形,
∴且.
同理四边形DNEA是平行四边形,∴,且,
又且,∴且,
∴四边形CNEB是平行四边形,
∴且,
∴且,
∴四边形为平行四边形,从而B、E、、F四点共面;
(2)由(1)知,,平面,平面,
∴平面,①
取BG中点为I,连接,则G是,H是,∴∥HG,
且BI∥,BI=,∴四边形BI是平行四边形,∴∥BF,
∴BF∥HG,∵BF平面,HG平面,
∴平面,②
由①②,且,HG、平面,
∴平面平面.
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