广西壮族自治区梧州市藤县第二中学高三数学文测试题含解析

广西壮族自治区梧州市藤县第二中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，，则（    ） （A） （B） （C） （D） 参考答案： C 2. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(  )       A. 3         B. 2              C. 1             D. 参考答案： A 函数的定义域为，函数的导数为，由，得，解得或（舍去），选A. 3. 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1] 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（1，1），B（2，4）， ∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1， ∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4， 经过点A时取得最小值为a+1， 若a=0，则y=z，此时满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1， 即0＜a≤1， 若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2， 即﹣2≤a＜0， 综上﹣2≤a≤1， 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论． 4. 己知函数f(x)的定义域是，对任意的，有.当时，.给出下列四个关于函数的命题： ①函数f(x)是奇函数； ②函数f(x)是周期函数； ③函数f(x)的全部零点为，； ④当算时，函数的图象与函数f(x)的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 由周期函数的定义得到②正确；，可以得到函数不是奇函数，故①错误；，又是周期为2的函数，可得③正确；求出的根即可判断④错误，从而得解. 【详解】∵对任意的，有，∴对任意的，， ∴是周期为2的函数， ∴， 又∵当时，，∴，∴函数不是奇函数，故①错误，②正确. 当时，，∴，又∵是周期为2的函数，∴函数的全部零点为，，故③正确. ∵当时，，令，解得（舍）或； 当时，，令，则，解得或（舍）； 当时，，令，则，解得或（舍）， ∴共有3个公共点，故④错误. 因此真命题的个数为2个. 故选： 【点睛】本题主要考查函数性质的综合运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5. 若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是                                                                                                                （    ）        A． B． C．D．（－2，2） 参考答案： 答案：D 6. 若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（　　） A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{0≤x≤}D．{x|0＜x＜2} 参考答案： D 【考点】并集及其运算． 【分析】把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集． 【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}， 两解集画在数轴上，如图： 所以A∪B={x|0＜x＜2}． 故选D 7. 椭圆y2+=1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（　　） A．[，1） B．（0，] C．[，1） D．（0，] 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由已知得短轴顶点B与焦点F1，F1所成角∠F1BF2≥90°，从而≥m，由此能求出m的取值范围． 【解答】解：∵椭圆y2+=1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2， ∴短轴顶点B与焦点F1，F1所成角∠F1BF2≥90°， ∴≥m， 由0＜m＜1，解得0＜m≤． 故选：B． 8. 已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】根据x的取值范围，tanx的值易得sinx=﹣，所以结合诱导公式求得sin（x+π）的值即可． 【解答】解：因为x∈（﹣，0），tanx=﹣， 所以sinx=﹣， ∴sin（x+π）=﹣sinx=． 故选：D． 【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查． 9. 已知为等差数列,若,则的值为 A．           B．          C．            D． 参考答案： 10. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷．则抽到的人中，做问卷的人数为           （    ）     A．7                B．9                C．10               D．15 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是                       ． 参考答案： 12. 若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为        ． 参考答案： 答案： 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为 13. 设x，y满足约束条件，则z=x+3y+m的最大值为4，则m的值为　　． 参考答案： ﹣4 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=x+3y+m的最大值为4，建立解关系即可求解m的值． 【解答】解：由z=x+3y+m得﹣， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线﹣由图象可知当直线﹣经过点A时，直线﹣的截距最大， 此时z也最大，由，解得，即A（2，2）， 将A代入目标函数z=x+3y+m，得2+3×2+m=4． 解得m=﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 14. 展开式中，形如的项称为同序项，形如的项称为次序项，如q是一个同序项，是一个次序项。从展开式中任取两项，恰有一个同序项和一个次序项的概率为    。 参考答案： 15. 已知曲线C的参数方程为(为参数), 则曲线C上的点到直线的距离的最大值为_________. 参考答案： 16. 若，则_______． 参考答案： 【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值.C7 【答案解析】  解析：因为所以 . 【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解. 17. 对于命题：若是线段上一点，则有将它类比到平面的情形是：   若是△内一点，则有将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有           ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≠0），（其中p为非零常数，n∈N*）． （1）判断数列是不是等比数列？ （2）求an； （3）当a=1时，令，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn． 参考答案： 考点： 数列的求和；等比关系的确定．. 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）由an+2=p?可求得=p?，利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列； （2）利用累乘法an=?…?a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1即可求得an； （3）当a=1时，bn==np2n﹣1，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn． 解答： 解：（1）由an+2=p?得=p? …（1分） 令cn=，则c1=a，cn+1=pcn． ∵a≠0， ∴c1≠0，故=p（非零常数）， ∴数列是等比数列，…（3分） （2）∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列， ∴cn=c1?pn﹣1=a?pn﹣1， 即=apn﹣1．          …（4分） 当n≥2时，an=?…?a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1=an﹣1，…（6分） ∵a1满足上式， ∴an=an﹣1，n∈N*．        …（7分） （3）∵=?=（apn）×（a?pn﹣1）=a2p2n﹣1， ∴当a=1时，bn==np2n﹣1．    …（8分） ∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n﹣1，① p2Sn=1×p3+…+（n﹣1）p2n﹣1+n×p2n+1② ∴当p2≠1，即p≠±1时，①﹣②得：（1﹣p2）Sn=p1+p3+…+p2n﹣1﹣np2n+1， ∴Sn=﹣，p≠±1．　            …（11分） 而当p=1时，Sn=1+2+…+n=，…（12分） 当p=﹣1时，Sn=（﹣1）+（﹣2）+…+（﹣n）=﹣．…（13分） 综上所述，Sn=…（14分） 点评： 本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题． 19. 等差数列{an}中，a2+a3+a4=15，a5=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{×bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式． 【分析】（Ⅰ）先设出公差为d首项为a1，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组； （Ⅱ）把（Ⅰ）求出的an代入bn求出bn，再求出的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d首项为a1，由题意得， ，即， 解得a1=1，d=2， ∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1， （Ⅱ）由（Ⅰ）可得=3n，∴=n3n， ∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，① 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，② ①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1 =﹣n×3n+1， ∴Sn=． 20. （本小题满分12分）         双胞胎姐弟玩数字游戏，先由姐姐任想一个数字记为，再由弟弟猜姐姐刚才想的数字，把弟弟想的数字记为，且    （1）求姐弟两人想的数字之差为3的概率；    （2）若姐弟两人想的数字相同或相差1，则称“双胞胎姐弟有心灵感应”，求“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率. 参考答案： 解：（1）所有基本事件为： （1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6） （1，2），（2，1），（1，3），（3，1