广西壮族自治区南宁市市第二十中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市第二十中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知,，、均为锐角，则等于    A．          B．        C．         D． 参考答案： D 2. 已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 参考答案： B 3. 已知复数，则在复平面内对应的点位于 A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限     D.第四象限 参考答案： B 4. 已知等差数列的前项和为,且,则（    ） A．2         B．4       C．8        D．16 参考答案： C 由得，,又，∴，即.   5. 已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：         ①若∥，则；    ②若，则∥；   ③若，则∥； ④若∥，则．   其中真命题的个数为 A．1           B．2           C．3           D．4 参考答案： B 6. 在等差数列{an}中，若，则的值为 A．12 B．14 C．16 D．18 参考答案： A 7. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为，且直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（     ） A.     B. C.     D. 参考答案： C 8. 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于１，则半径的取值范围是（　　） Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ． 参考答案： C 9. 以原点为圆心，且截直线所得弦长为8的圆的方程是                   （    ）        A．x2+y2=5                                              B．x2+y2=16        C．x2+y2=4                                              D．x2+y2=25 参考答案： 答案:D 10. 已知集合,,如果,则等于             A．          B．          C．或         D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为________． 参考答案： 或 12. 在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有种 参考答案： 设两个不同的小球为当放入1号盒或者6号盒时，有4种不同的放法；当放入2，3，4，5号盒时，有3种不同的放法，一共有= 20种不同的放法. 13. 设关于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围为        ． 参考答案： （） 考点：根与系数的关系． 专题：函数的性质及应用． 分析：由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1，由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x，在同一坐标系中作出两个函数得图象，继而得出关系式求解即可． 解答： 解：由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1，① 由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x，② 由①可得2a=2x﹣， 作出函数y=x2﹣x和y=2x﹣的函数图象如下图： ∵x1＜x3＜x2＜x4 ∴x2﹣x=2x﹣ 整理得：，即，即 解得：x=1或x= 当x=1﹣时，a= ∴ 点评：本题主要考查函数中零点与系数的关系，在考试中经常作为选择填空出现，属于中档题． 14. 已知，则=                参考答案： 【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．F3    解析：∵，∴， ∴，故答案为。 【思路点拨】利用数量积运算法则及其性质即可得出． 15. 已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面     积为，则异面直线与所成角余弦值为 . 参考答案： 16. 已知复数，则____________. 参考答案： 2 略 17. 在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=　． 参考答案： 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r 解：由题意可得，=r 设，θ∈[0，π] 则==r2cosθ ∵=+ 两边同时平方可得，= 即× ∴cosθ= ∵， ∴且cos ∴= 设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos= 即 ∴r= 故答案为：． 点评：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分10分）设函数. （Ⅰ）若的最小值为3，求值； （Ⅱ）求不等式的解集． 参考答案： ⑴因为 因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求.……………………4分 ⑵不等式即不等式 ， ①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立. ②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立. ③当时，原不等式可化为即 由于时 所以，当时，原不等式成立. 综合①②③可知： 不等式的解集为……………………10分 19. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲． 如图，是⊙的直径，弦的延长线 相交于点，垂直的延长线于点． 求证：（1）； （2）四点共圆． 参考答案： （1）， …… 5分 （2）是⊙的直径，所以，取BE的中点为M，，， ，四点与点M等距，四点共圆  …… 10分 20. 如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动． （1）当取最小值时，求C1和C2的方程； （2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出C1和C2的方程； （2）用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出△PF1F2的三边关于m的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值． 【解答】解：（1）∵，∴， ∴=m+≥2，当且仅当m=即m=1时取等号， 当m=1时，a=2，b=， ∴抛物线C1的方程为：y2=﹣4x，椭圆C2的方程为． （2）因为，则， ∴椭圆的标准方程为，设P（x0，y0），Q（x1，y1）， 由得3x2﹣16mx﹣12m2=0，解得或x0=6m（舍去）， 代入抛物线方程得，即， 于是， 又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3． ∴抛物线方程为y2=﹣12x，， ∴直线PQ的方程为． 联立，得或x1=﹣2（舍去），于是． ∴， 设到直线PQ的距离为d，则， ∴当时，， ∴△MPQ的面积最大值为． 此时M（﹣，﹣），∴直线MP的方程为y=﹣x﹣． 21. 如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点， （1）求证：SA∥平面PCD； （2）求圆锥SO的表面积； （3）求异面直线SA与PD所成角的正切值。 参考答案： (1)连结,分别为的中点,,平面, 平面,平面. (2)母线,； (3),为异面直线与所成角, 平面, 在中, 所以异面直线SA与PD所成角的正切值为 22. 若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”． （1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由； （2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由； （3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由． 参考答案： 【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切． （2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部． （3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0． 【解答】解：（1） 即ax2﹣2ax0x+ax02=0 ∴△=4a2x02﹣4a2x02=0 ∴l与椭圆C相切． （2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C的外部． 是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0 则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0 ∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0 ∴by02+ax02＞1 ∴N（x0，y0）在椭圆C的外部． （3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y） 则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上， 即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0 同理得关于λ2的方程，类似． 即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根 ∴λ1+λ2=0．