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广东省肇庆市高要活道中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合M=,N=,则M∩N=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 在等腰中,,
则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
【知识点】向量的数量积的运算F2
解析:
【思路点拨】利用向量间的关系表示出,,然后再求其数量积.
3. 已知点是的重心,若,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 已知△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,且a=1,b=,tanC=1,则△ABC外接圆面积为( )
A.π B.π C.π D.π
参考答案:
A
【考点】正弦定理.
【分析】由 tanC=1,根据同角三角函数的基本关系可得cosC和sinC的值,由余弦定理可求c,由正弦定理可得外接圆的半径,利用圆的面积公式即可计算得解.
【解答】解:∵tanC=1,a=1,b=,
∴cosC==,sinC==,
∴由余弦定理可得:c==1,
∴由正弦定理可得2R===,
∴△ABC外接圆面积S=πR2=π×()2=.
故选:A.
【点评】本题考查正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,求出sinC是解题的关键,考查了转化思想,属于基础题.
5. 直线与曲线在轴右侧的第一、二、三个交点依次为、、,若分的比为,则
(A); (B); (C); (D).
参考答案:
B
略
6. 阅读右边的程序框图,若输入的是100,则输出的
变量和的值依次是( )
A.2550,2500 B.2550,2550 C.2500,2500 D.2500,2550
参考答案:
答案:A.
解析:依据框图可得,。
7. 已知是由正数组成的等比数列,表示的前项的和,若,,则的值是
(A) (B) 69 (C)93 (D)189
参考答案:
C
略
8. 定积分dx的值为( )
A. B. C.π D.2π
参考答案:
A
【考点】定积分.
【专题】导数的概念及应用.
【分析】根据的定积分的几何意义,所围成的几何图形的面积是的四分之一,计算即可.
【解答】解:∵y=,
∴(x﹣1)2+y2=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,
∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一,
∴定积分dx=,
故选:A.
【点评】本题主要考查了定积分的几何意义,根据数形结合的思想,属于基础题.
9. 已知点P(0,3),抛物线C:y2=4x的焦点为F,射线FP与抛物线c相交于点A,与其准线相交于点B,则|AF|:|AB|=( )
A. B. C.1:2 D.1:3
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用抛物线的简单性质以及抛物线的定义,化简求解即可.
【解答】解:过A作AA'垂直于C的准线,设直线PF的倾斜角为α,则tanα=﹣3,
由抛物线的定义得|AF|=|AA'|,
所以,
故选:B.
10. 一个几何体的三视图如图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图
是半径为1的半圆,则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,则 .
参考答案:
-55/16
12. 方程+-1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标.若+-9=0的各个实根,,…,(k≤4)所对应的点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
,,
13. 设函数(),若,,则__________.
参考答案:
,,
=9a+3b,
则9a+3b=3a+3b,
∴=3,解得:=,
故答案为:.
14. 已知实数满足则的最小值为__________.
参考答案:
作出不等式组所对应的可行域,如图所示:
当过点A时, 有最小值为.
故选:
点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15. 如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线经过点B.现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是 ▲
参考答案:
因为B(2,4)在曲线上,所以,解得,所以曲线方程为,因为,所以阴影部分的面积为,所以质点落在图中阴影区域的概率是。
16. 顶点在原点,经过圆的圆心且准线与轴垂直的抛物线方程为 .
参考答案:
知识点:抛物线 圆H3 H7
解析:因为圆的圆心坐标为,设抛物线方程为,将圆心坐标代入得a=2,所以所求抛物线的方程为.
【思路点拨】求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程,再利用条件求待定的系数即可.
17. 已知 ,则 的值是 。
参考答案:
解析:当设 , 则 ①
② ∴ ①-②得
∴
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合,原点到过点A(a,0),B(0,﹣b)的直线的距离是.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q,求证:点Q在定直线上,并求出定直线的方程.
参考答案:
考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (Ⅰ)由抛物线的焦点坐标求得c=1,结合隐含条件得到a2=b2+1,再由点到直线的距离公式得到关于a,b的另一关系式,联立方程组求得a,b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,消去y得到(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,由判别式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0,代入(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0求得P的坐标,然后写出直线F1Q方程为,联立方程组,求得x=4,即说明点Q在定直线x=4上.
解答: (Ⅰ)解:由抛物线的焦点坐标为(1,0),得c=1,
因此a2=b2+1 ①,
直线AB:,即bx﹣ay﹣ab=0.
∴原点O到直线AB的距离为 ②,
联立①②,解得:a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)由,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,(*)
由直线与椭圆相切,得m≠0且△=64k2m2﹣4(4k2+3)(4m2﹣12)=0,
整理得:4k2﹣m2+3=0,
将4k2+3=m2,即m2﹣3=4k2代入(*)式,得m2x2+8kmx+16k2=0,
即(mx+4k)2=0,解得,
∴,
又F1(1,0),∴,则,
∴直线F1Q方程为,
联立方程组,得x=4,
∴点Q在定直线x=4上.
点评: 本题考查了椭圆方程的求法,考查了点到直线距离公式的应用,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了两直线交点坐标的求法,是中档题.
19. 已知等差数列满足:.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
参考答案:
解:(1)设的首项为,公差为,
则由得…………2分
解得 …………4分
所以的通项公式 …………6分
(2)由得. …………8分
…10分
. …………12分
20. 已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若二次函数与函数的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)
试题分析:(1)当m=5时,把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.
(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=﹣1取得最小值2,f(x)在x=﹣1处取得最大值m﹣2,故有m﹣2≥2,由此求得m的范围.
试题解析:
(1)当时,,
由得不等式的解集为.
(2)由二次函数,
知函数在取得最小值2,
因为,在处取得最大值,
所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.
只需,即.
21. 已知椭圆C:的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,点P是坐标平面内一点,且|OP|=,(O为坐标原点)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过的直线L与该椭圆相交于M、N两点,且,求直线L的方程。
参考答案:
略
22. 数列中,,(≥2,),数列为等比数列,且.
(I)求数列的通项公式;
(II)求数列的前n项和.
参考答案:
略
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