广东省湛江市赤坎中学2022年高三数学文联考试卷含解析

广东省湛江市赤坎中学2022年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（　　） A．7 B． C． D． 参考答案： D 【考点】等差数列的性质． 【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解． 【解答】解：． 故选：D． 2. 从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人人选，而乙没有人选的不同选法的种数位为     A．  85                B．  56                    C．  49                   D．  28 参考答案： C 3. 实数满足，则四个数的大小关系为（   ） A.   B.   C.   D. 参考答案： C 4. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 5. 若，则（    ） A．        B．      C.         D． 参考答案： C 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（      ） A.                 B.             C.          D.           参考答案： C 7. 设集合，若，则的取值范围是 A．   B．    C．    D． 参考答案： C 8. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体， 其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2， 高为h=2cm， 故柱体的体积V=Sh=πcm3， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 9. 已知向量a =，向量b =，那么a与b夹角的大小为（   ） A.                B.                  C.               D. 参考答案： 答案：D 10. 设的 A．充分不必要条件              B．必要不充分条件  C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列的前项和为，若＝10，则＝_______________. 参考答案： 95 12. 已知是原点，点的坐标满足，则的取值范围为          ． 参考答案： 答案：[－3，3] 13. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则 的通项公式____________. 参考答案： 14. 有一边长为1的正方形ABCD, 则. 参考答案： 2 15. 在中，，则的值为___________. 参考答案： 略 16. 在平面四边形中，，，，，则BD的最大值为          ． 参考答案： 8 试题分析：因,故,即的外接圆的直径为,又,所以,设,故,所以在中,应用余弦定理可得,由于,所以,所以,当时,,应填8.   17. 已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于?x1∈[﹣2，2]，?x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是　　． 参考答案： [﹣5，﹣2] 【考点】指数函数综合题；特称命题． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0， 当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]， 则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]， 若对于?x1∈[﹣2，2]，?x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1）， 则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3， ∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]， ∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1， 则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3， 解得m≥﹣5且m≤﹣2， 故﹣5≤m≤﹣2， 故答案为：[﹣5，﹣2] 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分)已知函数 （1）当时，求的极值 （2）当时，求的单调区间 （3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围。 参考答案：      ↘  极小值   ↗                                        19. （本小题满分13分） 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率； （Ⅱ）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望． 参考答案： （Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件，则 ， 故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为．               ………………4分 （Ⅱ）解：随机变量的所有取值为．            ………………5分 ，，，    ， ．         ………………10分 所以，随机变量的分布列为:                                                            ………11分 ．         ………………13分 20. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD． （Ⅰ）求证：PN=CN； （Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN． 参考答案： 考点： 点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN； （Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由VA﹣PBD=VC﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论． 解答： （Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM， 则EM∥AN，且EM=AN， 四边形ANME是平行四边形，MN∥AE． 由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD． 又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD， 则MN⊥PC，PN=CN．…（6分） （Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2， 由VA﹣PBD=VC﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2， 故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分） 点评： 本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21. （本小题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润                       （单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第个月的当月利润率 ，例如：． (Ⅰ)求；  (Ⅱ)求第个月的当月利润率；ks5u (Ⅲ)该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率． 参考答案： (Ⅰ)由题意得 ∴．………………………2分    （2）当时， ∴．----------4分 当时，            ……………………7分 ∴当第个月的当月利润率为 ……………………………8分 （Ⅲ）当时，是减函数， 此时的最大值为                ……………………… 9分 当时， 当且仅当时，即时，，…………………12分 ，∴当时，     ………………………13分 答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为. …14分 22. 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；      (2)AC＝AE. 参考答案： 略