广东省湛江市友好中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析

广东省湛江市友好中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设定义在上的函数满足，若，则(  ) （Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ） 参考答案： C 2. 如图，二面角的大小为，，且，，则AD与β所成角的大小为(    ) A． B． C. D． 参考答案： C 3. 在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】充要条件． 【专题】简易逻辑． 【分析】“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出． 【解答】解：“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”， 反之不成立，可能为B或C=90°． 因此“”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 4. 已知全集，集合，，则（  ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 5. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是（   ）   参考答案： A 6. 如图所示的程序框图，如果输入的n为6，那么输出的n为(     ) A．16 B．10 C．5 D．3 参考答案： C 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，确定输出的n值． 解答： 解：当输入的n=6，由程序框图知：第一次循环n=3，i=1； 第二次循环n=3×3+1=10，i=2； 第三次循环n=5，i=3， 不满足条件i＜3，跳出循环体，输出n=5． 故选：C． 点评：本题考查了选择结构与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 7. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（    ）] A.-5                 B.1                C.2                  D.3 参考答案： D 8. 定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式的解集是(     ) A、        B、     C、     D、 参考答案： C 略 9. 下列选项中，说法正确的是（　　） A．若a＞b＞0，则 B．向量（m∈R）共线的充要条件是m=0 C．命题“?n∈N*，3n＞（n+2）?2n﹣1”的否定是“?n∈N*，3n≥（n+2）?2n﹣1” D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）?f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题 参考答案： D 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】A，因为函数y=在（0，+∞）是减函数； B，向量（m∈R）共线?1×（2m﹣1）=m×m?m=1； C，命题“?n∈N*，3n＞（n+2）?2n﹣1”的否定是“?n∈N*，3n≤（n+2）?2n﹣1”； D，因为f（a）?f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点； 【解答】解：对于A，因为函数y=在（0，+∞）是减函数，故错； 对于B，向量（m∈R）共线?1×（2m﹣1）=m×m?m=1，故错； 对于C，命题“?n∈N*，3n＞（n+2）?2n﹣1”的否定是“?n∈N*，3n≤（n+2）?2n﹣1”，故错； 对于D，命题“若f（a）?f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为：“f（x）在区间（a，b）内有一个零点“，则f（a）?f（b）＜0：因为f（a）?f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点，故正确； 故选：D 10. 函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是 （    ）   参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段 ,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题: ①;     ②;         ③; ④函数在上是增函数,在上是减函数. 其中为真命题的是          (写出所有真命题的序号) 参考答案： ①④ 本题考查空间几何体的结构特征,点的轨迹.如图所示,当时,,所以,即①正确;当时,如图,求得,,所以,所以,即②错误;,即③错误;而,所以函数在上是增函数,在上是减函数,即④正确;所以真命题的是①④. 12. 对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数： ①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）． 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是　　（请写出所有正确的序号） 参考答案： ①②③ 【考点】34：函数的值域． 【分析】根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间． 【解答】解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间； ②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间； ③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间； ④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点； 而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间． 故答案为：①②③． 【点评】考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法． 13. 在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为        ． 参考答案： 由已知有，，由于， 又，则， 当且仅当时等号成立.故面积的最大值为. 14. 在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于             .（结果用反三角函数值表示） 参考答案： 答案：arctg2 15. 等比数列满足，则 参考答案：          16. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为　　． 参考答案： ﹣41 【考点】二项式定理的应用． 【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值，再把二项式展开，求得该展开式中含x的系数． 【解答】解：∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1， ∴=（x+）?（?（2x）5﹣?（2x）4+?（2x）3﹣?（2x）2+?2x﹣）， 则该展开式中含x的系数为﹣﹣?4=﹣41， 故答案为：﹣41． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 17. 函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）. 1             当时，y的取值范围是      ; 2         果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是      . 参考答案： ； 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，直线l过点P（2，）且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），直线l与曲线C相交于A，B两点； （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若，求直线l的倾斜角α的值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程． （2）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由已知求出直线的斜率，由此能求出直线l的倾斜角α的值． 【解答】解：（1）∵，∴… ∴，∴， ∴曲线C的直角坐标方程为．… （2）当α=900时，直线l：x=2，∴，∴α=900舍  … 当α≠900时，设tanα=k，则， ∴圆心到直线的距离 由， ∴，∵α∈（0，π），∴．… 19. 如图，三棱柱中，侧面底面，, 且,O为中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置． 参考答案： 解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点， 所以．…1分 又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，  所以平面．…4分 （Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，又; ． 所以得: 则有： 设平面的一个法向量为，则有  ，令，得  所以．…6分  ． 因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以．  …8分 （Ⅲ）设 即，得 所以得…10分  令平面，得 ， 即得 即存在这样的点E，E为的中点．…12分 略 20. （本题满分14分） 如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．    （1）求证：平面PAB平面PCD；    （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．   参考答案： （1）证明：，又二面角P-AB-D为               ，又AD=2PA            有平面图形易知：AB平面APD，又，， ，且           ，又，平面PAB平面PCD---------7分    （2）设E到平面PBC的距离为，AE//平面PBC         所以A 到平面PBC的距离亦为         连结AC，则，设PA=2        =        ，设PE与平面PBC所成角为        ---------------14分 21. （12分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：   超过m 不超过m 第一种生产方式     第二种生产方式     （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：， k   参考答案： 解：（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产