四川省达州市达县安仁中学高三数学文上学期期末试题含解析

四川省达州市达县安仁中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则的解集为（  ） A．  B．  C．   D． 参考答案： A 2. 已知双曲线C：的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为， 可得：，可得，，则的渐近线方程为． 故选A． 3. 将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象 A．关于点（，0）对称                 B．关于直线对称 C．关于直线对称                   D．关于点（）对称 参考答案： C 【分析】 利用平移变换得到，然后研究函数的对称性. 【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为， 令得，， 取知为其一条对称轴， 故选：C.   4. 已知集合，则 A．{0,4}            B． (0,4]            C．[0,4]       D．(0,4) 参考答案： C 5. 世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（    ） A． B． C． D． 参考答案： D ．故选D． 6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    ) A.              B.             C.              D.   参考答案： D 7. 若，，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求得，进一步得到的值． 【详解】由，得，则． ∵，∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题． 8. 为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是      （    ）     A．19．5            B．20．5            C．21．5            D．25．5 参考答案： B 9. 已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） D． 参考答案： D 【考点】HW：三角函数的最值；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 【分析】先根据x的范围求出ωx的范围，根据函数f（x）在区间[]上的最小值为﹣2，可得到﹣ω≤﹣，即ω≥，然后对ω分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案． 【解答】解：当ω＞0时，﹣ω≤ωx≤ω， 由题意知﹣ω≤﹣，即ω≥， 当ω＜0时，ω≤ωx≤﹣ω， 由题意知ω≤﹣，即ω≤﹣2， 综上知，ω的取值范围是（﹣∪[）． 故选：D． 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习． 10. 甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（    ） A．     B．    C．    D．   参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设复数z满足，则z=          ． 参考答案： 12. 抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于    两点，则的面积是           ． 参考答案： 略 13. 若函数（有两个零点，则的取值范围是            . 参考答案： [Z。xx   略 14. 由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是　　． 参考答案： 【考点】定积分在求面积中的应用． 【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得． 【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积 ． 故答案为：． 15. 从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率是          ． 参考答案： 考点：几何概型的计算公式及运用． 16. 记不等式组所表示的平面区域为，若直线与公共点，则的取值范围是      .   参考答案： ：不等式组表示的平面区域如图为三角形ABC区域，其中A、B坐标分别为(1，1)，(0，4)，实数a为区域内的点与点(－1，0)连线的直线的斜率，显然经过点A时斜率最小为，经过点B时斜率最大为4，所以实数a的范围是 17. 已知函数f（x）=|x|（x﹣a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为　    　；若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为　     　． 参考答案： （﹣∞，+∞），（2﹣2，1）   【考点】分段函数的应用． 【分析】当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调递增区间； 函数g（x）=f（x）﹣a至多有一个负零点，两个非负零点，进而得到a的取值范围． 【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=， 故函数图象是连续的， 且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均为增函数， 故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）； 函数g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=， 令g（x）=0，则 当x＜0时，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1， 即函数g（x）至多有一个负零点，此时a﹣1＜0，a＜1； 当x≥0时，x2﹣ax﹣a+1=0， 若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则x2﹣ax﹣a+1=0有两个不等的正根， 则， 解得：2﹣2＜a＜1， 综上可得：若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2﹣2，1）， 故答案为：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的存在性及个数判断，难度中档． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）． （1）求椭圆C的方徎； （2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆C的方程． （2）直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程为，从而得到l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定点． 【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）， ∴， 解得a2=12，b2=4， ∴椭圆C的方程为． （2）∵直线l的方程为x=﹣2， 设P（﹣2，y0），， 当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2， 联立， ∴， ∴， 又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点， ∴直线MN的斜率为， 又l′⊥MN，∴l′的方程为， 即， ∴l′恒过定点． 当y0=0时，直线MN为， 此时l′为x轴，也过点， 综上，l′恒过定点． 19. （本小题满分15分） 已知函数，若在上的最小值记为. （1）求； （2）证明：当时，恒有. 参考答案： （1）因为， ①当时， 若，则，，故在上是减函数； 若，则，，故在上是增函数； 所以，. ②当，则，，，故在上是减函数， 所以， 综上所述，. （2）令， ①当时，， 若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以， 故. 若，，则，所以在上是减函数， 所以在上的最大值是， 令，则， 所以在上是增函数，所以即， 故， ②当时，，所以，得， 此时在上是减函数，因此在上的最大值是， 故， 综上所述，当时恒有.   20. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值； （2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a， ∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3， ∴a﹣3=﹣2， ∴a=1． （2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n）， 则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2= ∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是 21. 如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3． （Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC； （Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，则OD∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1DC． （2）以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值． 【解答】证明：（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD， ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点， ∴OD∥A1B， ∵A1B?平面B1DC，OD?平面B1DC， ∴A1B∥平面B1DC． （2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3． ∴以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0）， =（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3）， 设平面B1DC的法向量=（x，y，z）， 则，取z=1，得=（﹣3，0，1）， 设平面B1CC1的法向量=（a，b，c