四川省眉山市县职业高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

四川省眉山市县职业高级中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若平面四边形满足，，则该四边形一定是(     )   A.正方形       B. 矩形       Ｃ.菱形　　　　D. 直角梯形 参考答案： C 2. 设，则满足的最小正整数是      A、7    B、8       C、9         D、10 参考答案： C 要使  成立，只要比较函数上的整点与原点连线的斜率即可，函数上的横坐标为正数的整点分别为 可得，所以最小正整数 3. 设函数与的图像的交点为，则所在的区间是       A．     B．       C．       D． 参考答案： B 4. 在等差数列中，若，则的值为                      参考答案： 答案:C 5. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝bcsinA＝10，b＝4，则a的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【解答】解：∵3acosC＝4csinA， ∴3sinAcosC＝4sinCsinA， ∵sinA≠0， ∴3cosC＝4sinC， ∴cosC＝， ∵S＝bcsinA＝10， ∴csinA＝5， ∵3acosC＝4csinA＝20， ∴a＝＝． 6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题： ①f（f（x））=1； ②函数f（x）是偶函数； ③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立； ④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形． 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： A 【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用． 【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质； ④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形． 【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0， ∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1， 即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确； ③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0， ∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确． 即真命题的个数是4个， 故选：A． 【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题． 7. 如果执行右面的程序框图，则输出的结构是     A．                                   B．                   C．                                   D． 参考答案： B 8. 阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（　　） A．n≤2014 B．n≤2015 C．n≤2016 D．n≤2018 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s=符号题意． 【解答】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下： s=0，n=1； 满足条件，执行循环体，s=，n=2； 满足条件，执行循环体，s=0，n=3； 满足条件，执行循环体，s=0，n=4； 满足条件，执行循环体，s=，n=5； 满足条件，执行循环体，s=0，n=6 … 观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s的值为， 由于：2014=671×3+1 所以：判断条件为n≤2014？时，s=符合题意． 故选：A． 9. 设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为(　 　) A.      B.    C.    D. 参考答案： D 10. 已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（　　） A． B． C． D．2 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由向量的平方即为模的平方．可得?=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值． 【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|， 即有（﹣）2=（+2）2， 即为2+2﹣2?=2+4?+42， 化为?=﹣2， 由与的夹角的余弦值为﹣， 可得cos＜，＞=﹣==， 化简可得=2． 故选：D． 【点评】本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处切线平行于C2的一条渐近线，则p=　　． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值． 【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0）， 所以抛物线的焦点坐标为F（0，）． 由﹣y2=1得a=，b=1，c=2． 所以双曲线的右焦点为（2，0）． 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=， 即x+2y﹣p=0①． 设该直线交抛物线于M（x0，），则C1在点M处的切线的斜率为． 由题意可知=，得x0=p，代入M点得M（p，） 把M点代入①得：． 解得p=． 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题． 12. 设集合，，则   ▲   ． 参考答案：    13. 关于曲线，给出下列说法： ①关于坐标轴对称；      ②关于点对称； ③关于直线对称；  ④是封闭图形，面积大于. 则其中正确说法的序号是            .（注：把你认为正确的序号都填上） 参考答案： ①②④ 14. 函数的最小值为      。 参考答案： 15. 已知集合,,在集合中任意取一个元素，则的概率是           . 参考答案： 16. 设全集U={1,2,3,4,5}，若集合A={3,4,5}，则__________. 参考答案： {1,2} 【分析】 利用补集定义直接求解即可． 【详解】∵全集，集合， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用． 17. （12）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为__________。 参考答案： 4 由题意约束条件的图像如下： 当直线经过时，，取得最大值. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA1=AB=2，E，F分别是CC1，BC的中点． （1）求证：平面AB1F⊥平面AEF； （2）求点C到平面AEF的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF． （2）利用等面积方法，即可求出点C到平面AEF的距离． 【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点， ∴AF⊥BC． 又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱， ∴面ABC⊥面BB1C1C， ∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…（2分） 设AB=AA1=1，则B1F=，EF=，B1E=． ∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF． 又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…（4分） 而B1F?面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．… （2）解：设点C到平面AEF的距离为h，则由题意，AF⊥CF，AF⊥EF， ∴S△ACF==1，S△AEF==， 由等体积可得，，∴h=． 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C到平面AEF的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19. （本题满分12分） 已知函数的最大值是1，其图像经过点。 （1）求的解析式；（2）已知，且求的值。 参考答案： （1）依题意有，则， 将点代入得， 而，，， 故； （2）依题意有，而， ， 略 20. 已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（2，3）为其上一点，且|PF1|+|PF2|＝8． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l：y＝kx﹣4交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围． 参考答案： （1）；（2）（，）∪（，）. 【分析】 （1）由点是椭圆上的一点，且，联立方程组，可求得，即可得到椭圆的标准方程； （2）联立方程组，由，解得或，再由原点在以线段为直径的圆的外部，得到?0，求得，即可求解实数的范围． 【详解】（1）由题意知，点是椭圆上的一点，且， 可得，解得， 所以椭圆的方程为1． （2）设， 联立方程组，得， ∴，， 由，即，解得或．① ∵原点O在以线段为直径的圆的外部，则?0， ∴? ， 解得．② 由①②解得实数的范围是． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21. 已知向量=（sinA，sin B），=（cosB，cos A），=sin 2C，且△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）求角C的大小； （2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c. 参考答案： .解：（1）, 又，                          ………………………3分 又                    ………………………4分    (2) 由已知得，即     又∵，∴