福建省泉州市水头中学2022年高三数学理期末试题含解析

福建省泉州市水头中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 将函数的图象向右平移个单位长度后， 可得的图象， ∵所得图象关于轴对称，∴，． ∵，即，则当取最小值时，， ∴，取，可得， ∴函数的解析式为，故选C． 2. 已知命题p:“”,命题q：“”.若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是 (A)｛a∣a≤-2或a=1｝ (B)｛a∣≤-2或1≤a≤2｝ (C)｛a∣a≥1｝ (D)｛a∣-2≤a≤1｝ 参考答案： A 略 3. 已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（　　） A．1 B． C．2 D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可． 【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=， 不妨设=（1，0），=（，）， 则﹣2=（，﹣）， 故|﹣2|==1， 故选：A． 【点评】本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题． 4. 已知||=1，=（0，2），且?=1，则向量与夹角的大小为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题：平面向量及应用． 分析：利用向量的夹角公式即可得出． 解答： 解：∵||=1，=（0，2），且?=1， ∴===． ∴向量与夹角的大小为． 故选：C． 点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题． 5. 曲线在点处的切线方程是  (    )    A． B． C． D． 参考答案： A 略 6. 若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是(    ) A．等比数列 B．等差数列 C．等比或等差数列 D．非等差数列 参考答案： C 略 7. 设sin（+θ）=，则sin2θ=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】计算题． 【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值． 【解答】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=， 两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A 【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题． 8. 已知函数若f （f （0））=a,则实数a=         ． 参考答案： -4    略 9. 若，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件     C．充要条件                       D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 10. 设f（x）=，g（x）=ax+5﹣2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（　　） A．[4，+∞） B．（0，] C．[，4] D．[，+∞） 参考答案： C 【考点】2H：全称命题． 【分析】先对函数f（x）分x=0和x≠0分别求函数值，综合可得其值域，同样求出函数g（x）的值域，把两个函数的函数值相比较即可求出a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=， 当x=0时，f（x）=0， 当x≠0时，f（x）=， 由0＜x≤1，∴0＜f（x）≤1． 故0≤f（x）≤1 又因为g（x）=ax+5﹣2a（a＞0），且g（0）=5﹣2a，g（1）=5﹣a． 故5﹣2a≤g（x）≤5﹣a． 所以须满足， ∴≤a≤4， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，是对知识点的综合考查． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数（其中是虚数单位），满足，则实数              ，         ． 参考答案： 2   ,   12. 右图所示的程序是计算函数函数值的程序，若输出的值为4，则输入的值是          . 参考答案： -4,0,4 13. 在中.若b=5，，sinA=，则a=___________________. 参考答案： 本题考查正弦定理，容易题。由正弦定理有：，即，得。 14. 所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：； ； ． 已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数        ；又，所以的所有正约数之和可表示为； ，所以的所有正约数之和可表示为； 按此规律，的所有正约数之和可表示为           ． 参考答案： ,. 15. 若集合, ,则=___ _____. 参考答案： 16. 若，是第二象限的角，则_______． 参考答案： 略 17.        ． 参考答案：     三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若g（x）= [f（x）﹣ax]，且对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下，讨论a≥0，a＜0，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间． （Ⅱ）先求导，化简对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，得到λ≤（1+）（lnx+1），再构造函数，根据导数和函数的单调性和最值得关系即可求出实数λ的取值范围 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， 则f′（x）=+a， 当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）的增区间为（0，+∞）．无减区间； 当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜﹣；令f′（x）＜0，解得x＞﹣． 则f（x）的增区间为（0，﹣），减区间为（﹣，+∞）． （Ⅱ）∵g（x）= [f（x）﹣ax]=（ax+lnx﹣ax）=lnx，x＞0， ∴g′（x）=lnx+=（lnx+2）， ∴2?g′（x）﹣1=lnx+1， ∵对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立， ∴lnx+1≥恒成立， ∴λ≤（1+）（lnx+1）， 设h（x）=（1+）（lnx+1）， ∴h′（x）=， 再令φ（x）=x﹣lnx，x≥1， ∴φ′（x）=1﹣≥0恒成立， ∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴φ（x）≥φ（1）=1， ∴h′（x）＞0恒成立， ∴h（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴h（x）min=h（1）=2， ∴λ≤2 19. 已知向量，，函数 （1）求f(x)的最小正周期和单调增区间； （2）求f(x)在区间上的最大值和最小值，并求出相应x的值. 参考答案： （1）,；（2）时，最小，时，最大，. 【分析】 （1）利用数量积的坐标运算与辅助角公式可求得，从而可求的最小正周期和单调增区间； （2）根据可求得结合正弦函数的图象可求的最大值和最小值。 【详解】（1）   , 最小正周期为  , 由 函数的增区间为. （2）当时，， 当时，即时，最小， 当，即时，最大， 【点睛】本题考查数量积的坐标运算与辅助角公式，考查三角函数中的恒等变换应用与二倍角公式，以及三角函数的性质，属于中档题． 20. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点. (1)求证：A1B∥平面ADC1； (2)若AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值. 参考答案： （Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E， 则点E是A1C及AC1的中点． 连接DE，则DE∥A1B． 因为DEì平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1． …4分 （Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz． 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)， 21. （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为 （Ⅰ） 将的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值． 参考答案： （Ⅰ）由已知得，即………3分 （Ⅱ）由得，所以圆心为，半径为1． 又圆心到直线的距离为,…………………5分 所以的最大值为．…………………………7分 22. （12分） 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 参考答案： 解析：，设         当时，取最大值7万元