湖南省长沙市洞井中学 高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省长沙市洞井中学 高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是        A．                                    B．         C．                                                     D．  参考答案： 2. 已知，为虚数单位，且，则的值为    （    ）     A．4                B．4+4             C．              D．2 参考答案： C 3. 已知则成立的（  ）                   （A）充分不必要条件    （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 由得或，所以成立的充分不必要条件，选A. 4. 在正项等比数列{an}中，a2a4=4，S3=14，数列{bn}满足bn=log2an，则数列{bn}的前6项和是（　　） 参考答案： 　 A． 0 B． 2 C． 3 D． 5   考点： 等比数列的前n项和． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 由等比数列的性质可知a2a4==4，可求a3，然后结合S3=14，分别利用等比数列的通项及求和公式可利用首项a1和公比q表示，解方程可求a1，q，然后可求an，代入bn=log2an可求bn，进而可求和S6 解答： 解：由等比数列的性质可知a2a4==4， 又∵an＞0 ∴a3=2即① ∵S3==14，即② ②÷①可得 解方程可得或q=（舍） ∴a1=8，an== ∴bn=log2an=4﹣n ∴S6=3+2+1+0﹣1﹣2=3 故选C 点评： 本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式、通项公式的简单应用． 5. 已知全集，集合，则   A.     B.     C.    D.      参考答案： A 集合,所以，，选A. 6. 若函数为奇函数，则f（g（2））＝（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 2 参考答案： D 分析：利用奇偶性，先求出，再求出的值即可. 详解：设x＞0，则﹣x＜0， 故f（﹣x）=2x﹣2=﹣f（x）， 故x＞0时，f（x）=2﹣2x， 由g（2）=f（2）=2﹣4=﹣2， 故f（g（2））=f（﹣2）=﹣f（2）=2， 故选：D． 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 7. 已知为虚数单位, 则复数在复平面内对应的点位于   （    ）   A．第一象限          B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限 参考答案： B 略 8. 已知，则，，的大小关系是     A．                        B．     C．                        D． 参考答案： A 9. 某餐厅的原料费支出与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为 A.50 B.55 C.60 D.65 参考答案： C 10. 如果角的终边经过点，则(     )    A．       B．       C．       D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列式子： 1+＜， 1++＜， 1+++＜， … 据以上式子可以猜想：1++++…+＜　　． 参考答案： 1++++…+＜ 【考点】归纳推理． 【分析】由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即可得答案． 【解答】解：由已知中的不等式，我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1， ∴1++++…+＜． 故答案为：1++++…+＜． 【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 12. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________。 参考答案： 答案： 13. 已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）. 现对这些点进行往返标数（从A→B→A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）。如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标记的数中，最小的是     ． 参考答案： (理)3. 14. 若函数f(x)=(a∈R)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是　   　． 参考答案： [﹣，] 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】去掉绝对值，根据f′（x）≥0，得到a的范围即可． 【解答】解：f（x）=； ∵x∈[1，2]； ∴a≤时，f（x）=，f′（x）=； 由f′（x）≥0；解得：a≥﹣≥﹣， 即﹣≤a≤时，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]上单调递增； 即a的取值范围是：[﹣，]． 故答案为：[﹣，]． 　 15. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程为________________． 图5 参考答案： x－2y－4＝0 略 16. 如图所示，在平面四边形中，，， 为正三角形，则面积的最大值为__________． 参考答案： 设，由余弦定理可知：， 又由正弦定理： 所以最大值为 17. 运行右图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，则集合A中元   素的个数为_______. 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx． （1）当a＞0时，函数f（x）是否存在极值？判断并证明你的结论； （2）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），求自然数n的值； （3）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数f（x）的导数，通过判断导函数的符号，得到函数的单调区间，从而判断出函数的极值即可； （2）先求导得到f′（x），由f′（2）=4﹣+b=0，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值； （3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，由于对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，则g（b）max=g（﹣1）=x2﹣x﹣alnx＜0在x∈（1，e）有解．令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可． 【解答】解：（1）f（x）=x2+bx﹣alnx，（x＞0）， f′（x）=2x+b﹣，f″（x）=2+＞0， 故f′（x）在（0，+∞）递增， 故x→0时，f′（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞， 故存在x0∈（0，+∞），使得：x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）递减， x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增， 故函数f（x）存在极小值，但不存在极大值； （2）f′（x）=2x﹣+b，∵x=2是函数f（x）的极值点， ∴f′（2）=4﹣+b=0． ∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0， 由，解得a=6，b=﹣1， ∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx， 令f′（x）=2x﹣﹣1=＞0，x∈（0，+∞），得x＞2；   令f′（x）＜0得0＜x＜2， 所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增 故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞）， 因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=6ln＞0， 所以x0∈（3，4），故n=3． （3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立， 则g（b）max=g（﹣1）=x2﹣x﹣alnx＜0在x∈（1，e）有解， 令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可， 由于h′（x）=2x﹣1﹣=， 令φ（x）=2x2﹣x﹣a，φ′（x）=4x﹣1＞0， ∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a， ①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增， ∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意． ②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a． 若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，∴在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立， ∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意． 若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0， ∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0， ∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，h（x）在（1，m）上单调递减， ∴存在存在x0∈（1，m）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意． 综上所述，当a＞1时，对?b∈[﹣2，﹣1]，都有?x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立． 19. 不等式选讲 设函数 (1) 若a=-1,解不等式；    (2) 如果x R, ，求a 的取值范围.   参考答案： (1) (2) 解析：（Ⅰ）当时， 由≥3得≥3 （ⅰ）x≤-1时，不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3 不等式组的解集为 综上得，的解集为                  ……5分 （Ⅱ）若，不满足题设条件 若 的最小值为   的最小值为 所以的充要条件是，从而的取值范围为                           略 20. 已知函数． （）若曲线与直线相切于点，求点的坐标． （）令，当时，求的单调区间． （）当，证明：当，． 参考答案： （） （）单调增区间为 单调减区间为 （）略 （）设， ， 由题意， 解出， ∴， ∴． （）， ， 令， 则， ， ∵，， ∴． 只需考虑的正负即可． ∴时，， 时，， 单调减区