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江西省九江市育才中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等比数列的公比q=2,且成等差数列,则的前8项和为( )
A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023
参考答案:
B
2. 一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( )
A.2+2+ B.16+2 C.8+2 D.8+
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意作图,从而求各个三角形的面积即可.
【解答】解:由题意作图如右,
△ABC与△ADC是全等的直角三角形,
其中AB==3,BC=2,
故S△ADC=S△ABC=×2×3=3,
△BDC是等腰直角三角形,
BC=CD=2,
故S△BCD=×2×2=2,
△ADB是等腰三角形,
AB=AD=3,BD=2,
故点A到BD的距离AE==,
故S△BAD=×2×=,
故表面积S=3+3+2+=8+,
故选:D.
3. 若满足 且的最大值为6,
则的值为( )
(A) (B)1 (C) (D)
参考答案:
B
【知识点】线性规划
因为可行域为,在,取得最大值,得。
故答案为:B
4. 中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题:“今有方锥,下方二丈七尺,高二丈九尺.问积几何?”(注:一丈等于十尺).若此方锥的三视图如图所示(其中俯视图为正方形),则方锥的体积为(单位:立方尺)
A. 7047 B. 21141 C. 7569 D. 22707
参考答案:
A
【分析】
由三视图还原原几何体,该几何体为正四棱锥,正四棱锥的底面边长为27尺,高为29尺,再由棱锥体积公式求解.
【详解】由三视图还原原几何体如图,
该几何体为正四棱锥,正四棱锥的底面边长为27尺,高为29尺,
∴该四棱锥的体积立方尺.
故选:A.
5. 函数的定义域为
A. B C D。
参考答案:
D
6. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,
则使得为正偶数时,的值是 www.k@s@5@ 高#考#资#源#网 ( )
A.1 B.2 C.5 D.3或11
参考答案:
D
略
7. 函数的对称轴为,则非零实数的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知直线与平面平行,则下列结论错误的是
A.直线与平面没有公共点
B.存在经过直线的平面与平面平行
C.直线与平面内的任意一条直线平行
D.直线上所有的点到平面的距离都相等
参考答案:
C
9. 已知是双曲线的两个焦点,以为直径的圆与双曲线一个交点是P,且的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是
A. B. C.2 D.5
参考答案:
D
10. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为16,20,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14
参考答案:
C
【考点】EF:程序框图.
【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.
【解答】解:由a=16,b=20,不满足a>b,
则b变为20﹣16=4,
由b<a,则a变为16﹣4=12,
由a<b,则,b=12﹣4=8,
由a<b,则,b=8﹣4=4,
由a=b=4,
则输出的a=4.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合A={x|x=,k∈N},B={x|0≤x≤6,x∈Q},则A∩B=________.
参考答案:
略
12. 等比数列{}的公比, 已知=1,,则{}的前4项和
= 。
参考答案:
13. 已知函数f(x)=-xlnx+ax在(0,e)上是增函数,函数g(x)=|ex-a|+,当x∈[0,ln3]时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为,则a的值为 .
参考答案:
由f ?(x)=-(lnx+1)+a≥0在(0,e)上恒成立,即a≥lnx+1,得a≥2.当2≤a<3, g(x)在[0,lna]上递减,[lna,ln3]上递增,且g(0)≥g(ln3),所以M-m=g(0)-g(lna)=a-1=,解得a=;当a≥3,g(x)=a-ex+,g(x)在[0,ln3]上递减,所以M-m=g(0)-g(ln3)=2≠,舍去.
【说明】考查用导数研究函数的性质,分段函数的最值.对a进行分类讨论,研究g(x)的单调性与最值.
14. 已知程序框图如右,则输出的= .
K
参考答案:
9
因为,所以当S=105时退出循环体,因而此时i=9,所以输出的i值为9
15. 设曲线在点处切线与直线垂直,则
参考答案:
1
由题意得,在点处的切线的斜率
又该切线与直线垂直,直线的斜率,
由,解得
16. 已知数列满足,,则数列的通项公式__________.
参考答案:
17. 函数的图像在点处的切线方程为,则 .
参考答案:
3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a。
参考答案:
因为,所以,
又,所以,
因此,又0<A<π,
所以,
又b=3,所以,
由余弦定理 ,
得
所以
19. 如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为等边三角形,D,E分别是BC,CA的中点.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAC;
(2)如何在BC上找一点F,使AD∥平面PEF并说明理由;
(3)若PA=AB=2,对于(Ⅱ)中的点F,求三棱锥P﹣BEF的体积.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质.
【分析】(1)证明平面PBE内的直线BE,垂直平面PAC内的两条相交直线PA、CA,即可证明平面PBE⊥平面PAC;
(2)取CD的中点F,连接EF,证明AD平行平面PEF内的直线EF,即可证明结论;
(3)PA=AB=2,利用求三棱锥P﹣BEF的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABC,BE?底面ABC,
∴PA⊥BE.
又∵△ABC是正三角形,且E为AC的中点,
∴BE⊥CA.
又PA∩CA=A,
∴BE⊥平面PAC.
∵BE?平面PBE,
∴平面PBE⊥平面PAC.
(Ⅱ)解:取CD的中点F,连接EF,则F即为所求.
∵E,F分别为CA,CD的中点,
∴EF∥AD.
又EF?平面PEF,AD?平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
(Ⅲ)解,根据题意可得
.
20. 已知的定义域为[].
(1)求的最小值.
(2)中,,,边的长为函数的最大值,求角大小及的面积.
参考答案:
.解.(1)先化简的解析式:
由,得,
所以函数的最小值,此时.
(2)由(1)知函数的最大值,即.
中,,,,故(正弦定理),再由知,故,于是,从而的面积.
略
21. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设点,曲线与曲线交于,,求的值.
参考答案:
(1)曲线:;曲线:;
(2)将(为参数)代入的直角坐标方程,
得,所以;
所以.
22. (本小题满分13分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问8分)
设函数在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数,讨论的单调性.
参考答案:
解析:(Ⅰ)因
又在x=0处取得极限值,故从而
由曲线y=在(1,f(1))处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2,即
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
令
(1)当
(2)当
K=1时,g(x)在R上为增函数
(3)方程有两个不相等实根
当函数
当时,故上为减函数
时,故上为增函数
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