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2022-2023学年山西省长治市城关第一中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
参考答案:
A
2. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会稳定在一个常数附近
D.概率是随机的,在试验前不能确定
参考答案:
C
【考点】概率的意义;随机事件.
【专题】概率与统计.
【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出.
【解答】解:随着试验次数的增加,频率一般会稳定在一个常数附近,这个常数就是此试验的事件的概率.
因此C正确.
故选C.
【点评】熟练掌握频率与概率的意义及其关系是解题的关键.
3. 已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:
已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0),…,求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.
根据已知信息,题中二次函数图象不具有的性质是( )
A.过点(3,0)
B.顶点(2,-2)
C.在x轴上截线段长是2
D.与y轴交点是(0,3)
参考答案:
B
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(1,0),
∴1+b+c=0,又二次函数的图象关于直线x=2对称,
∴b=-4,∴c=3.
∴y=x2-4x+3,其顶点坐标为(2,-1),故选B.
5. 已知,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 设{a}是等差数列,{b}为等比数列,其公比q≠1, 且b>0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则 ( )
A a=b B a>b C a<b D a>b或 a<b
参考答案:
B
7. 下列命题中正确的是( )
A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等
C.相等的角终边必相同 D.不相等的角其终边必不相同
参考答案:
C
【考点】象限角、轴线角.
【专题】证明题.
【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍,举反例或直接进行判断.
【解答】解:A、如角3900与300的终边相同,都是第一象限角,而3900不是锐角,故A不对;
B、终边相同的角应相差周角的整数倍,而不是相等,故B不对;
C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上,则相等的角终边必相同,故C正确;
D、如角3900和300不相等,但是它们的终边相同,故D不对.
故选C.
【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义,利用定义进行举出反例进行判断.
8. 设集合A={(x,y)|x2+y2≤|x|+|y|,x,y∈R},则集合A所表示图形的面积为( )
A.1+π B.2 C.2+π D.π
参考答案:
C
【考点】圆方程的综合应用;Venn图表达集合的关系及运算.
【专题】综合题;数形结合;分类讨论;直线与圆.
【分析】根据不等式,分别讨论x,y的取值,转化为二元二次不等式组,结合圆的性质进行求解即可.
【解答】解:若x≥0,y≥0,则不等式等价为x2+y2≤x+y,即(x﹣)x2+(y﹣)2≤,
若x≥0,y<0,则不等式等价为x2+y2≤x﹣y,即(x﹣)x2+(y+)2≤,
若x≤0,y≤0,则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y,即(x+)x2+(y+)2≤,
若x<0,y≥0,则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y,即(x+)x2+(y﹣)2≤,
则对应的区域如图:
在第一象限内圆心坐标为C(,),半径=,
则三角形OAC的面积S==,
圆的面积为×=π,
则一个弓弧的面积S=π﹣,
则在第一象限的面积S=π×()2﹣2×(π﹣)=﹣+=+,
则整个区域的面积S=4×(+)=2+π,
故选:C
【点评】本题主要考查区域面积的计算,根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件,利用圆的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,比较复杂.
9. 设f(x)=,则f[f()]=( )
A. B. C.﹣ D.
参考答案:
B
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.
【分析】判断自变量的绝对值与1的大小,确定应代入的解析式.
先求f(),再求f[f()],由内而外.
【解答】解:f()=,
,即f[f()]=
故选B
【点评】本题考查分段函数的求值问题,属基本题.
10. 已知集合,集合,若,则实数的集合为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知D是不等式组所确定的平面区域,则圆在区域D内的弧长为 .
参考答案:
略
12. 设是的边上任意一点,且,若,则 .
参考答案:
因为M是△ABC边BC上任意一点,设,且m+n=1,
又= ,所以.
13. 已知定义在上的奇函数,当时,,那么时,____________.
参考答案:
略
14. (6分)设集合S={x|x<1},T={x|x≤2},则S∩T= ;S∪T= ;T∩?RS= .(R表示实数集)
参考答案:
(﹣∞,1),(﹣∞,2],{x|1≤x≤2}.
考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算.
专题: 集合.
分析: 根据交集并集补集的概念,即可求出
解答: ∵S={x|x<1},T={x|x≤2},
∴?RS═{x|x≥1},
∴S∩T={x|x<1}=(﹣∞,1),
S∪T={x|x≤2}=(﹣∞,2],
T∩?RS={x|1≤x≤2}=,
故答案为:(﹣∞,1),(﹣∞,2],
点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
15. 在数列{ an }中,,则____.
参考答案:
18
【分析】
直接利用等比数列的通项公式得答案.
【详解】解:在等比数列中,由,公比,得.
故答案为:18.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式,是基础题.
16. 函数的定义域
参考答案:
略
17. 定义一种运算,令,且,
则函数的最大值是______.
参考答案:
令,则
∴由运算定义可知,
∴当,即时,该函数取得最大值. 由图象变换可知,
所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}中,a3=2,3a2+2a7=0,其前n项和为Sn.
(Ⅰ)求等差数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求Sn,试问n为何值时Sn最大?
参考答案:
考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:(Ⅰ)通过设等差数列{an}的公差为d,联立a1+2d=2与5a1+15d=0,计算即得结论;
(Ⅱ)通过(I)、配方可知Sn=﹣+,通过S3=S4=12即得结论.
解答: 解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
依题意,a1+2d=2,5a1+15d=0,
解得:a1=6,d=﹣2,
∴数列{an}的通项公式an=﹣2n+8;
(Ⅱ)由(I)可知Sn=6n+?(﹣2)
=﹣n2+7n,
=﹣+,
∵S3=﹣9+21=12,S4=﹣16+28=12,
∴当n=3或4时,Sn最大.
点评:本题考查等差数列的通项及前n项和,注意解题方法的积累,属于基础题.
19. 已知,求的值.
参考答案:
.
考点:指对运算.
20. (本题满分14分)
已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求的最大值及此时x的值.
参考答案:
解析:(1)化简得………………5分
………………7分
………………9分
(2) 由,得……………12分
故,此时……………14分
略
21. ( 12分)已知集合,
(1)若求 的取值范围,
(2)若,求出 的取值范围。
参考答案:
略
22. (本题满分15分)
已知公比为整数的正项等比数列{an}满足: , .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
(1)设等比数列的公比为,
由,有可得,…………………1分
由可得,…………………2分
两式相除可得: ,…………………3分
整理为: ,
由,且为整数,可解得,故…………………5分
数列的通项公式为.…………………7分
(2)由,
,
有 ,…………………9分
两式作差有: ,…………………11分
得 ,…………………14分
故.…………………15分
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