2022-2023学年山西省长治市城关第一中学高一数学理期末试题含解析

2022-2023学年山西省长治市城关第一中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(　　) A．3                                B．2 C．1                                D．0 参考答案： A 2. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是（　　） A．频率就是概率 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近 D．概率是随机的，在试验前不能确定 参考答案： C 【考点】概率的意义；随机事件． 【专题】概率与统计． 【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出． 【解答】解：随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近，这个常数就是此试验的事件的概率． 因此C正确． 故选C． 【点评】熟练掌握频率与概率的意义及其关系是解题的关键． 3. 已知，则的值为                       （     ）    A.             B.            C.             D.   参考答案： C 4. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字： 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称． 根据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是(　　) A．过点(3,0) B．顶点(2，－2) C．在x轴上截线段长是2 D．与y轴交点是(0,3) 参考答案： 　B 　∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1,0)， ∴1＋b＋c＝0，又二次函数的图象关于直线x＝2对称， ∴b＝－4，∴c＝3. ∴y＝x2－4x＋3，其顶点坐标为(2，－1)，故选B. 5. 已知，且，则的最小值为（   ） A．       B．            C．          D． 参考答案： D 6. 设｛a｝是等差数列，｛b｝为等比数列，其公比q≠1, 且b＞0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则 (    ) A  a=b    B   a＞b    C   a＜b    D    a＞b或 a＜b   参考答案： B 7. 下列命题中正确的是（　　） A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等 C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同 参考答案： C 【考点】象限角、轴线角． 【专题】证明题． 【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断． 【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A不对； B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对； C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确； D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对． 故选C． 【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断． 8. 设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（　　） A．1+π B．2 C．2+π D．π 参考答案： C 【考点】圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆． 【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可． 【解答】解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤， 若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤， 若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤， 若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤， 则对应的区域如图： 在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=， 则三角形OAC的面积S==， 圆的面积为×=π， 则一个弓弧的面积S=π﹣， 则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+， 则整个区域的面积S=4×（+）=2+π， 故选：C 【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂． 9. 设f（x）=，则f[f（）]=（　　） A． B． C．﹣ D． 参考答案： B 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值． 【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式． 先求f（），再求f[f（）]，由内而外． 【解答】解：f（）=， ，即f[f（）]= 故选B 【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题． 10. 已知集合，集合,若，则实数的集合为（     ） A．    B．      C． D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为       . 参考答案： 略 12. 设是的边上任意一点，且，若，则         ． 参考答案： 因为M是△ABC边BC上任意一点,设，且m+n=1，   又= ,所以.   13. 已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，____________. 参考答案： 略 14. （6分）设集合S={x|x＜1}，T={x|x≤2}，则S∩T=      ；S∪T=           ；T∩?RS=     ．（R表示实数集） 参考答案： （﹣∞，1），（﹣∞，2]，{x|1≤x≤2}. 考点： 交、并、补集的混合运算；交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 根据交集并集补集的概念，即可求出 解答： ∵S={x|x＜1}，T={x|x≤2}， ∴?RS═{x|x≥1}， ∴S∩T={x|x＜1}=（﹣∞，1）， S∪T={x|x≤2}=（﹣∞，2]， T∩?RS={x|1≤x≤2}=， 故答案为：（﹣∞，1），（﹣∞，2]， 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 15. 在数列{ an }中，，则____. 参考答案： 18 【分析】 直接利用等比数列的通项公式得答案． 【详解】解：在等比数列中，由，公比，得． 故答案为：18． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题． 16. 函数的定义域                      参考答案： 略 17. 定义一种运算，令，且， 则函数的最大值是______.　 参考答案： 令，则 　　∴由运算定义可知， ∴当，即时，该函数取得最大值.　　由图象变换可知， 　　所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}中，a3=2，3a2+2a7=0，其前n项和为Sn． （Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求Sn，试问n为何值时Sn最大？ 参考答案： 考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）通过设等差数列{an}的公差为d，联立a1+2d=2与5a1+15d=0，计算即得结论； （Ⅱ）通过（I）、配方可知Sn=﹣+，通过S3=S4=12即得结论． 解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， 依题意，a1+2d=2，5a1+15d=0， 解得：a1=6，d=﹣2， ∴数列{an}的通项公式an=﹣2n+8； （Ⅱ）由（I）可知Sn=6n+?（﹣2） =﹣n2+7n， =﹣+， ∵S3=﹣9+21=12，S4=﹣16+28=12， ∴当n=3或4时，Sn最大． 点评：本题考查等差数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题． 19. 已知，求的值． 参考答案： ． 考点：指对运算. 20. （本题满分14分） 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及此时x的值． 参考答案： 解析：(1)化简得………………5分 ………………7分 ………………9分 (2) 由，得……………12分 故，此时……………14分 略 21. ( 12分)已知集合，   （1）若求 的取值范围，   （2）若，求出 的取值范围。 参考答案： 略 22. (本题满分15分) 已知公比为整数的正项等比数列{an}满足： ， ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： （1）设等比数列的公比为， 由，有可得，…………………1分 由可得，…………………2分 两式相除可得： ，…………………3分 整理为： ， 由，且为整数，可解得，故…………………5分 数列的通项公式为．…………………7分 （2）由， ， 有 ，…………………9分 两式作差有： ，…………………11分 得 ，…………………14分 故．…………………15分