2022年河南省郑州市巩义第六高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年河南省郑州市巩义第六高级中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为(   ) A．   B．     C．      D． 参考答案： 【知识点】双曲线的标准方程H6 C   解析：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5， ∴抛物线的焦点为F（0，5），设双曲线的方程为， ∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即， ∴，解得（舍负），可得该双曲线的标准方程为． 故选：C 【思路点拨】根据抛物线方程，算出其焦点为F（0，5）．由此设双曲线的，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程． 2. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（    ）                   A.10           B.11            C.12            D. 13 参考答案： C 3. 集合A={x|ln（x－l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=                                （    ）     A．（2,3）           B．[2,3）           C．（2,3]           D．[2,3] 参考答案： C 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（　　） A．me=m0= B．me=m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜ 参考答案： D 【考点】众数、中位数、平均数． 【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案． 【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知： 30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=5.5， 得分为5的最多，故众数m0=5， 其平均数=≈5.97； 则有m0＜me＜， 故选：D． 5. 在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（　　） A． B．2 C．2 D．4 参考答案： B 【考点】正弦定理． 【分析】由条件求得 c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值． 【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc?sinA=c?，∴c=2=b， 故B==30°． 再由正弦定理可得 =2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2， 故选：B． 6. 已知集合U={﹣1，0，1}，B={x|x=m2，m∈U}，则?UA=（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．? D．{﹣1} 参考答案： D 【考点】1F：补集及其运算． 【分析】根据题意，分析可得集合B={0，1}，由补集的定义即可得答案． 【解答】解：根据题意，B={x|x=m2，m∈U}， 而U={﹣1，0，1}，则B={0，1}， 则?UA={﹣1}； 故选：D． 【点评】本题考查集合补集计算，注意正确求出集合B． 7. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 8. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－4            B．－6            C．－8            D．－10 参考答案： B 9. 函数的反函数是 A．                B. C．               D. 参考答案： D 略 10. 已知函数与其导函数的图象如图，则函数的递减区间为（   ） A．(0,4)          B．(－∞,0),(1,4)        C.          D．(0,1)(4,+∞) 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，和的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为                          ．   参考答案： 答案： 12. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右，根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是__________．   参考答案： 答案：40 13. （5分）在△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．根据以上情况，猜想在凸n边形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是　　． 参考答案： 【考点】： 归纳推理． 【专题】： 综合题． 【分析】： 根据已知中△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案． 【解答】： 解：由已知中已知的多边形角的倒数所满足的不等式： △ABC中，不等式成立； 凸四边形ABCD中，不等式成立； 凸五边形ABCDE中，不等式成立； … 由此推断凸n边形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是： 故答案为： 【点评】： 本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键． 14. 已知向量，，.若向量与向量共线，则实数 _____． 参考答案： ，因为向量与向量共线，所以，解得。 15. 已知＝2·，＝3·, ＝4·,…. 若＝8·（均为正实数），类比以上等式，可推测的值， 则＝       . 参考答案： 16. 方程在区间内的所有实根之和为       .（符号表示不超过的最大整数）。 参考答案： 2 17. 定义函数，其中表示不超过的最大整数，如： 当时，设函数的值域为A， 记集合A中的元素个数为，则式子的最小值为          参考答案： 13 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.   为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理得到的频率分布直方图如下图。若图中第一组（成绩为[40，50））对应矩形高是第六组（成绩为[90，100]）对应矩形高的一半．   （1）试求第一组、第六组分别有学生多少人？     （2）若从第一组中选出一名学生，从第六组中选   出2名学生，共3名学生召开座谈会，求第一组   中学生A1和第六组中学生B1同时被选中的概率．   参考答案： 略 19. （本小题满分12分） 设公差不为0的等差数列的首项为1，且构成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，，求 的前项和 参考答案： 【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．D4 D5  【答案解析】（Ⅰ）2n-1；（Ⅱ） 解析：（I）设等差数列的公差为d,(d),则 构成等比数列，，即 解得d=0（舍去）或d=2, 1+2(n-1)=2n-1  ……………….3分 （II）由已知（） 当n=1时， =； 当时， （）=， =，（） 由（I），2n-1（），（）…………7分 两式相减得 ， =，     …………….12分 【思路点拨】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn。 20. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，）.在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为. （1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程； （2）若直线分别交曲线C、曲线E于点A，B，求的面积的最大值. 参考答案： （1）曲线，曲线；（2）. 【分析】 (1)消去参数可得曲线的普通方程；由可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)利用参数方程求出的坐标，再求的面积及其最大值. 【详解】(1)由消去参数，可得曲线的普通方程为. 由，可得，则， 则曲线的直角坐标方程为. （2）设，，其中，则. 要使得面积的最大，则. . ，. 当，即时，的面积取最大值. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用. 21. 已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为． （1）求双曲线C的方程； （2）设过点M（﹣2，0）的直线l交双曲线C于A、B两点，并且三角形OAB的面积为2，求直线l的方程； （3）在（2）中是否存在这样的直线l，使OA⊥OB？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质． 【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用已知条件列出方程求出，a、b、c，即可得到双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线联立，利用三角形的面积求解直线方程即可． （3）利用（2）通过直线垂直，斜率乘积为：﹣1．列出方程求解即可． 【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为． 可得a=b， =，，解得，a=b=1，c=． 双曲线的方程为：x2﹣y2=1． （2）设直线方程为：x=my﹣2， 由题意可得：， 可得（m2﹣1）y2﹣4my+3=0，可得：y1+y2=，y1y2=， |y1﹣y2|==， 三角形OAB的面积为2，可得： =，解得m=±． 直线l的方程：x=±y﹣2． （3）由（2）可知y1y2=， x1x2=（my1﹣2）（my2﹣2）=m2y1y2﹣2m（y1+y2）+4==， 如果OA⊥OB，可得：， 解得：m2=﹣1， 直线不存在． 【点评】本题考查直线椭圆双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用． 22. 已知函数为常数）， (1）若，且函数的值域为，求的表达式； (2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围； (3）设且为偶函数，判断能否大于零？ 参考答案： （1）由题意，得： ，解得：， 所以的表达式为：. (2）              5分 图象的对称轴为： 由题意，得： 解得：   (3）是偶函数，      ，不妨设，则 又，则 大于零.