2022-2023学年安徽省马鞍山市梅山高级职业中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年安徽省马鞍山市梅山高级职业中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U=R，集合，，则=(     ) A.   B.    C.    D. 参考答案： C 略 2. 以下四个命题中其中真命题个数是 ①为了了解800名学生的成绩,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔为40; ②线性回归直线恒过样本点的中心; ③随机变量服从正态分布,若在(－∞,1)内取值的概率为0.1,则在(2,3)内的概率为0.4; ④若事件M和N满足关系,则事件M和N互斥. A. 0       B. 1       C. 2         D. 3 参考答案： D 3. 已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（　　） A．0 B． C． D．π 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】计算||，||，根据向量垂直列方程得出，代入向量的夹角公式计算夹角余弦． 【解答】解：||=，||=， ∵（+2）⊥（2﹣）， ∴（+2）?（2﹣）=2+3﹣2=0，即10+3﹣=0， ∴=﹣． ∴cos＜，＞==﹣1． ∴＜，＞=π． 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与向量数量积的关系，属于中档题． 4. 已知集合，集合（是自然对数的底数），则=                                                       （    ） A． B．    C． D． 参考答案： A 略 5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为                                            （    ） A．    B．        C．     D．  参考答案： A 6. 已知函数，则是在处取得极小值的（   ） A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件 C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 函数,,在处取得极小值,则在0的左边导函数小于0，0的右边导函数大于0，因为导函数的两个零点为0，，故是较小的零点，故<0,解得b>0.故是在处取得极小值的既不充分也不必要条件. 故答案为：D.   7. 已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程得， 相减得， ∴． ∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==． ∴， 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9． ∴椭圆E的方程为． 故选D． 8. 设函数与的图象在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数的图象于点B，则线段AB的长度为（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 由方程组，即，即，即， 又，联立得， 解得或（舍去），则， 又因为， 故选C．   9. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为（    ）        A．　　 　                            B．        C．　　                               D． 参考答案： A 10. 函数的最小正周期为（  ） A. B. C. π D. 2π 参考答案： D 【分析】 利用函数的最小正周期为得出结论. 【详解】函数是小正周期为, 故选D. 【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数的周期为. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是            ． 参考答案： 8 由，， 可得（*）， 由三角形为锐角三角形，则， 在（*）式两侧同时除以可得， 又(#)， 则， 由可得， 令，由为锐角可得， 由(#)得，解得 ， ，由则，因此最小值为， 当且仅当时取到等号，此时，， 解得（或互换），此时均为锐角． 12. 甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。 甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。 则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个) 参考答案： 丙 假如甲说的是对的，则乙说了假话，丙说的是真话，与条件不符；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，丙说的也是假话，符合条件；假如丙说的是真话，则甲乙二人中必有一人说的是真话，与条件不符，所以乙说的是真话，是丙做的好事. 故答案为丙.   13. 展开式中的系数为___________（用数字作答）。 参考答案： 答案：－960 解析：展开式中的项为，的系数为－960。 14. 如果的展开式中,第三项含,则自然数n为             . 参考答案： 8 15. 在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为         参考答案： 16. 设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________． 参考答案： 略 17. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是           _. 参考答案： ，∴是函数含原点的递增区间． 又∵函数在上递增，∴， ∴得不等式组，得 ，又∵，∴ ， 又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知，，即函数在处取得最大值，可得，∴，综上，可得． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）在等差数列{}和等比数列中， 成等比数列。 （I）求数列{}、{}的通项公式： （II）设恒成立，求常数t的取值范围。 参考答案： 19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据茎叶图可得[50，60），总共有8人，结合频率分布直方图，可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值； （Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及其数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030． （Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人． 抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则 ，，． 所以，ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以，． 【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图，考查随机了的分布列及其数学期望，考查学生的识图能力，考查学生的计算能力，属于中档题． 20. 过椭圆上一点P作圆的两条切线，分别交椭圆于A，B两点，记直线PA，PB的斜率为． （I）若，求点P的坐标； （Ⅱ）当点P在左半个椭圆上（含短轴顶点）运动时，求的取值范围． 参考答案： （I）或；（Ⅱ）. 【分析】 （I）设，设切线：，可得圆心到切线的距离为1，可得，又在椭圆上，联立可得P点坐标； （Ⅱ）由（I）得：，令，可得关于t的函数，可得的范围. 【详解】解：（I）设，设切线：， 可得圆心到切线的距离：， 的两根为， ，又， 解得：或. （Ⅱ）由（I）得： 令，可得在上递增 可得：. 【点睛】本题主要考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系，不等式的性质等，综合性大，注意数形结合思想的运用. 21. 若，，且． （1）求的最小值； （2）是否存在a，b，使得的值为？并说明理由． 参考答案： （1）；（2）不存在，，使得的值为． （1），， ，，，当且仅当时取等号， ，．， ，当且仅当时取等号． （2），，， ，不存在，，使得的值为． 22. (10分) 已知圆过两点(1，－1)，(－1,1)，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)设P是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值． 参考答案： 解：(1)法一:线段的中点为(0,0),其垂直平分线方程为． 2分        解方程组所以圆的圆心坐标为(1,1)． 故所求圆的方程为：．·············· 4分 法二:设圆的方程为：， 根据题意得·················· 2分 解得． 故所求圆的方程为：．·············· 4分 (2)由题知，四边形的面积为 .············· 6分 又,， 所以，而， 即．························· 7分 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 即在直线上找一点，使得的值最小， 所以，··················· 9分 所以四边形面积的最小值为 .   10分