河南省许昌市长葛实验中学高一数学理期末试卷含解析

河南省许昌市长葛实验中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在映射，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（   ） A、   B、 C、 D、 参考答案： B 略 2. 在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（  ） A．      B．     C．       D． 参考答案： B 设“所取点坐标大于1”为事件A，则满足A的区间为[1,3] 根据几何概率的计算公式可得，   3. 已知：且，O为坐标原点，则点C的坐标为    (    ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 设点的坐标为，分别表示出，，， ，然后根据向量的平行和垂直的公式，即可求出点的坐标。 【详解】设点的坐标为，则，，，， 由于，则 ，解得： ； 所以点坐标为； 故答案选B 【点睛】本题考查平面向量平行和垂直的性质，熟练掌握向量平行和垂直的坐标运算法则，即：两个向量平行，交叉相乘相减为0，两个向量垂直，对应相乘和为0，属于基础题。 4. sin30°cos15°＋cos30°sin15°的值是(　　) A.          B.           C.   D. 参考答案： C 5. 已知，且是第二象限角，那么等于（      ）        A． －                     B．－                C．                      D． 参考答案： A 略 6. 若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0｝，a∈R中有且只有一个元素，则a的取值集合是（　　） 　　       A．｛1｝                      B．｛－1｝　　    C．｛0，1｝             D．｛－1，0，1｝ 参考答案： D 7. 函数 ，则=（     ）  A．2            B．3             C．4              D． 5 参考答案： B 略 8. 函数上的最大值和最小值之和为，则的值为（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案：  B  解析：当时与矛盾；         当时； 9. 函数的最小正周期为 A．1 B．2 C．π D．2π 参考答案： C 10. 如下图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1 D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设，，则函数的图象大致是（  ） A．  B．  C．   D． 参考答案： B 设正方体的棱长为 ，显然，当 移动到对角线 的中点 时， 取得唯一最大值，所以排除 ；当在 上时，分别过 作底面的垂线，垂足分别为 ，则 ，故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足则___ 参考答案： 或 【分析】 将已知等式两边平方，结合余弦定理可得2（）2﹣5（）+2＝0，解方程即可得解． 【详解】∵∠B＝，a+c＝， ∴a2+c2+2ac＝3b2，① 又由余弦定理可得：a2+c2﹣2ac＝b2，② ∴联立①②，可得：2a2﹣5ac+2c2＝0，即：2（）2﹣5（）+2＝0， ∴解得：＝2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题． 12. 在等比数列{an}中，已知a1=1，a4=8．设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列{an3}的前n项和．若S3n=tTn，则实数t的值为　   　． 参考答案： 7 【考点】8G：等比数列的性质． 【分析】由题意可得等比数列{an}的公比，可求S3n，可判数列{an3}是1为首项8为公比的等比数列，可得Tn，代入已知可解t值． 【解答】解：∵等比数列{an}中a1=1，a4=8． ∴等比数列{an}的公比q==2， ∴S3n===8n﹣1， 又可得数列{an3}是1为首项8为公比的等比数列， ∴其前n项和Tn==（8n﹣1） 由S3n=tTn可得8n﹣1=t×（8n﹣1）， 解得t=7 故答案为：7 13. 函数的单调递增期间是                . 参考答案： 14. 已知函数为[－1,1]上的增函数，则满足的实数的取值范围为_   _． 参考答案： ． 15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　  　． 参考答案： 12 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知几何体为三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC中，O是BC中点，AO=BO=CO=3，SO⊥底面ABC，SO=4，由此能求出该几何体的体积． 【解答】解：如图所示，由三视图知几何体为三棱锥S﹣ABC， 其中底面△ABC中，O是BC中点，AO=BO=CO=3， SO⊥底面ABC，SO=4， ∴该几何体的体积为： V= = = =12． 故答案为：12． 　 16. f（x）=，若f（x）=10，则x=　    　． 参考答案： ﹣3 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【分析】利用函数的解析式列出方程求解即可． 【解答】解：f（x）=，若f（x）=10， 可得x2+1=10，解得x=﹣3．x=3（舍去） 故答案为：﹣3． 17. 已知，则sin2x=　　． 参考答案： 【考点】GS：二倍角的正弦． 【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，已知点与两个定点，的距离之比为. （1）求点C的坐标所满足的关系式； （2）求△ABC面积的最大值； （3）若恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）（2）3；（3） 【分析】 （1）根据题意，结合两点间距离公式，可以得到等式，化简后得到点的坐标所满足的关系式； （2）设是曲线上任一点，求出的表达式，结合的取值范围，可以求出面积的最大值； （3）恒成立，则恒成立. 设，当它与圆相切时，取得最大和最小值，利用点到直线距离公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出实数的取值范围. 【详解】（1）设的坐标是，由，得， 化简得. （2）由（1）得，点在以为圆心，为半径的圆上. 设是曲线上任一点，则， 又，故的最大值为：. （3）由（1）得：圆的方程是 若恒成立，则恒成立. 设，当它与圆相切时， 取得最大和最小值， 由得：，， 故当时，原不等式恒成立. 【点睛】本题考查了求点的轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了求三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力. 19. 如图，A，B是单位圆O上的点，且点A在第一象限，点B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，B点的坐标为，. （1）求y的值； （2）设，求，，的值. 参考答案： （1）（2）；； 【分析】 （1）利用两点间距离公式表示出，解方程求得结果；（2）设，根据三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系可求得结果. 【详解】（1）由题意得：且，解得： （2）设，则有：，， 由得： ；； 【点睛】本题考查三角函数的定义、同角三角函数求解、诱导公式应用，属于基础题. 20. (本题10分) 已知二次函数　(是常数，且)满足条件：，且方程　有两个相等实根． (1)求的解析式； (2)是否存在实数，使　的定义域和值域分别为和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 略 21. （本小题满分12分） 已知函数，． （1）求不等式的解集． （2）记在[0,a]上最大值为，若，求正实数a的取值范围． 参考答案： （1）(－∞,3)． （2）(0,2)． 解析：本题考查分段函数综合问题． （1）由题意知，， ①当时，令，解得． ②当时，令，解得． 综上所述． （2）①当时，令，解得． ②当时，令，解得． 故时，，故正实数a的取值范围为(0,2)． 22. 已知函数 (I)求函数的单调增区间; (II)当时,求函数的最大值及相应的值. 参考答案： (I) 令得 ∴的单调递增区间为 (II)由可得 所以当即时. 取最大值,最大值为2. 略