湖南省益阳市湖莲坪中学2022年高一数学文模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC中，， ， ，那么角A等于 ( )
A. 90° B. 60° C. 30° D. 45°
参考答案：
D
【分析】
直接利用余弦定理计算得到答案.
【详解】已知中，， ，
则 即
故答案选D
【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.
2. 如图，是圆O的直径，是圆周上不同于、的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
参考答案：
D
略
3. 设（a＞0，a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（ ）
A、 B、
C、 D、
参考答案：
B
4. 直线与直线平行且不重合，则a等于（ ）
A B C 0或 D． 0或
参考答案：
C
略
5. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β
B．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．n∥m，n ⊥α?m⊥α
参考答案：
D
6. 在直三棱柱中，，，已知与
分别为和的中点，与分别为线段和上的动点(不包括端点)．若，则线段的长度的取值范围为
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 要得到的图象，只需将的图象 ( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
参考答案：
D
【分析】
先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.
【详解】将图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.
【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.
8. 在以下四个结论中：①是奇函数；②是奇函数；③ 是偶函数 ；④是非奇非偶函数.正确的有（ ）个
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案：
D
9. 若 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （2015秋?鞍山校级期末）设f（x）=，则f[f（）]= ．
参考答案：
【考点】函数的值域；函数的值．
【专题】计算题．
【分析】先由计算，然后再把与0比较，代入到相应的函数解析式中进行求解．
【解答】解：∵
∴
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是计算出后，代入到函数的解析式时，要熟练应用对数恒等式．
12. 如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O、A、B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f[f（3）]的值等于 ．
参考答案：
2
【考点】函数的值．
【分析】首先根据图形求出f（3）的值，由图形可知f（3）=1，然后根据图形判断出f（1）的值．
【解答】解：由图形可知，f（3）=1，f（1）=2，
∴f[f（3）]=2
故答案为：2
13. 函数的值域为 。
参考答案：
14. 已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为
参考答案：
15. 若则____________________．
参考答案：
8
因为所以。
16. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是___________．
参考答案：
略
17. 已知等比数列中，，，则
参考答案：
70
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点．设，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数解析式；
（2）求S的最大值．
参考答案：
（1）；（2）平方米．
【分析】
（1），将用表示，易得到关于的函数解析式。
（2）由（1）可知是关于的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换。
【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，
由，可得，，
，，
故S关于的函数解析式为
．
（2）令，可得
，即，
．
又由，可得，
故，
关于t的表达式为,
又由，
可知当时，S取最大值，最大值平方米．
【点睛】此题考查三角函数最值问题，关键点在对式子灵活换元处理，换元后新函数的定义域一同改变，属于一般题目。
19. （本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由
参考答案：
（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有，
化简得，解得或. -----------3分
当时，； 4分
当时，， 5分
从而得数列的通项公式为或. 6分
（Ⅱ）当时，. 显然， 7分
此时不存在正整数n，使得成立. 8分
当时，. 9分
令，即，
解得或（舍去）， 10分
此时存在正整数n，使得成立，n的最小值为41. 11分
综上，当时，不存在满足题意的n；
当时，存在满足题意的n，其最小值为41. 12分
20. 已知二次函数满足，．
（1）求函数的解析式,并求函数的单调区间；
（2）若，求函数的值域.
参考答案：
略
21. 已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3
0时，B＝{x|a0，a＝3时成立．
∵此时B＝{x|3
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