山东省滨州市莱山第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析

山东省滨州市莱山第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案： D 本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式、函数的零点，考查了 ,因为函数在区间内没有零点，所以,即,所以有或,解得, 因为,所以当k=0时，;解得, 因为,所以当k=1时，，故答案为D. 2. 已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可． 解答： 解：∵函数f（x）=x2﹣cosx为偶函数， ∴f（﹣0.5）=f（0.5），f′（x）=2x+sinx， 当0＜x＜时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数在（0，）上递增， ∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6）， 即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）， 故选：B 点评： 本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键． 3. 已知是单位向量,.若向量满足（　 　） A．    B．  C．    D． 参考答案： A 4. 已知i为虚数单位，则复数=(     ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 参考答案： C 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 解答： 解：=， 故选：C． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 5. 设函数为奇函数，则g（3）=（　　） A．8 B． C．﹣8 D．﹣ 参考答案： D 【考点】函数奇偶性的性质；函数的值． 【专题】计算题． 【分析】要求g（3）的值，只要先求g（x），即是求当x＞0时的f（x），根据已知x＜0时的函数解析式及f（x）为奇函数可求 【解答】解：设x＞0则﹣x＜0 ∵f（﹣x）=﹣f（x） ∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x ∴f（x）=﹣2﹣x 即g（x）=﹣2﹣x，x＞0 ∴g（3）=﹣2﹣3= 故选D 【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，解题的关键是灵活利用已知条件 6. 已知集合，若，则的值为（    ）  A．   B．   C．   D． 参考答案： A 7. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（   ） A．               B．           C．          D． 参考答案： C 8. 已知为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为         A．1              B．             C．2            D． 参考答案： C 略 9. .设，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。 详解：由有，，因为，所以，而，所以，选C. 点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题。比较大小通常采用的方法有： （1）同底的指数或对数采用单调性比较；（2）不同底的指数或对数采用中间量进行比较，中间量通常有0,1，等。 10. 某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图为矩形O1A1B1C1如图②，其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的体积为（　　） A．16 B．32 C．32 D．64 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 由俯视图的直观图为矩形O1A1B1C1，且O1A1=6，O1C1=2， 故底面直观图的面积为12， 故底面面积S=12×=24， 高h=4， 故棱锥的体积V==32． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数        。 参考答案： 12. 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地 震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测 震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的 震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 参考答案： 13. 计算=　   　． 参考答案： 110 【考点】方根与根式及根式的化简运算． 【分析】利用幂的性质和运算以及根式与幂的互化解决． 【解答】解：原式=+ = =110 14. 函数，的零点个数是     ． 参考答案： 【知识点】函数零点个数.B9 【答案解析】2  解析：当x≤0时，由f（x）=0得x2-2=0，解得x=?或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x， 作出函数y=lnx和y=6-2x在同一坐标系图象，     由图象可知两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2,故答案为：2 【思路点拨】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论． 15. 设定义在R上的函数同时满足以下条件； ①；②；③当＜时1时，。 则_______. 参考答案： 16. 在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点P（x，y） 是角θ终边上一点，|OP|=r（r＞0），定义f（θ）=．对于下列说法： ①函数f（θ）的值域是； ②函数f（θ）的图象关于原点对称； ③函数f（θ）的图象关于直线θ=对称； ④函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π； ⑤函数f（θ）的单调递减区间是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z． 其中正确的是　　．（填上所有正确命题的序号） 参考答案： ①③④ 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由题意可得f（θ）=，再利用函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性得出结论． 【解答】解：由已知点P（x，y）是角θ终边上一点，|OP|=r=（r＞0）， 定义f（θ）==，当x=﹣y＞0时，函数f（θ）取最大值为=； 当x=﹣y＜0时，f（θ）取最小值为 =﹣， 可得f（θ）的值域是，故①正确． 由于﹣θ角的终边上对应点为P′（x，﹣y），|OP′|=r，∴f（﹣θ）=，故 f（﹣θ）≠f（θ）， 故f（θ）不是奇函数，故函数f（θ）的图象不关于原点对称，故排除②． 由于点P（x，y）关于直线θ=（即y=﹣x）的对称点为Q（﹣y，﹣x），故f（﹣θ）==f（θ）， 故函数f（θ）的图象关于直线θ=对称，故③正确． ④由于角θ和角2π+θ的终边相同，故函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π，故④正确． ⑤在区间[﹣，]上，x不断增大，同时y值不断减小，r始终不变，故f（θ）=不断增大，故f（θ）=是增函数， 故函数f（θ）在区间[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z上不是减函数，故⑤不对， 故答案为：①③④． 17. 已知中，，，且，则的取值范围是　　▲　　。 参考答案： 【知识点】向量的数量积   F3 因为，所以，即可得，因为可得，设，所以有，因为 ，可得，所以，故答案为. 【思路点拨】根据题意可得，由平方可得，可得，根据角B的范围求得，而即可求得. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设f（x）=cosx+﹣1． （Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0； （Ⅱ）若不等式eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x﹣sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0； （Ⅱ）解法一：证明以，设，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以ex≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a的取值范围； 解法二：因为eax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围． 【解答】（Ⅰ）证明：（x≥0），则f'（x）=x﹣sinx， 设φ（x）=x﹣sinx，则φ'（x）=1﹣cosx，… 当x≥0时，φ'（x）=1﹣cosx≥0，即f'（x）=x﹣sinx为增函数， 所以f'（x）≥f'（0）=0， 即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0．  … （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，， 所以，… 设，则G'（x）=ex﹣x﹣1， 设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1， 当x≥0时g'（x）=ex﹣1≥0，所以g（x）=ex﹣x﹣1为增函数， 所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0， 所以ex≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．… 又x≥0，a≥1时，eax≥ex， 所以a≥1时eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．… 当a＜1时，设h（x）=eax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=aeax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0， 所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数， 所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意． 综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．… （Ⅱ）解法二：因为eax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）… 设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则 可求，… 所以当a≥1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数， 所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即eax≥sinx﹣cosx+2 所以a≥1时，eax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．… 当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0， 即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即eax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意， 综上所述，a≥1时，eax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．… 19. （本小题满分12分）设函数. （1）求函数的最小值； （2）设，讨论函数的单调性； （3）斜率为的直线与交于,两点，求证：. 参考答案： （1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得． ∵当时，f'（x）＜0；当时， f'（x）＞0， ∴当时，．----------------- 4分 （2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．