2022-2023学年山西省太原市王答乡第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年山西省太原市王答乡第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数＝ex－ax2有三个不同零点，则a的取值范围是（   ）     （A）(，＋∞)                   （B）(，＋∞) （C）(1，)                       （D）(1，) 参考答案： A 试题分析：时恒成立,不存在零点.故舍. 时,由数形结合可知在上必有一个零点,所以要使有三个不同零点,只需在上有两个不同零点. 时,所以问题可转化为直线与函数图像有两个不同交点. , 令得;令得, 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以, 由数形结合可得. 综上可得.故A正确. 考点：1用导数求最值;2数形结合思想. 2. 抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为l，，若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p=（    ） A．2         B．3       C．4         D．5 参考答案： A 关于过倾斜角为的直线对称，，由抛物线定义知， 等于点 到准线的距离，即，由于 ，，，代入抛物线方程可得，，解得，故选A.   3. 设,又是一个常数,已知当或时,只有一个实根, 当时,有三个相异实根,现给出下列命题:   (1) 和有且只有一个相同的实根.   (2) 和有且只有一个相同的实根.   (3) 的任一实根大于的任一实根. (4) 的任一实根小于的任一实根. 其中错误命题的个数为（    ）     A．4                B．3                C．2                D．1 参考答案： D 4. 若方程的任意一组解()都满足不等式，则的取值范围是（   ） A.        B.         C.         D. 参考答案： D 5. 已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述：①是周期函数；②是它的一条对称轴；③是它的图象的一个对称中心；④当时，它一定取得最大值。其中描述正确的是（    ） A．①②   　　 B．①③   　　 C．②④   　　 D．②③ 参考答案： B 6. 已知，则在上的投影是（  ） A.  1         B .              C. 2           D . 参考答案： C 7. 复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数是（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据复数运算可整理出，根据共轭复数的概念求得结果. 【详解】        本题正确选项： 【点睛】本题考查共轭复数的求解，涉及复数的运算，属于基础题. 8. 如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为(     ) A．7πcm2 B．8πcm2 C．9πcm2 D．11πcm2 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，分别计算各个面的面积，累加可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体， 圆柱的底面直径与半球的直径均为2， 圆柱的高为3， 故圆柱的底面面积为=π，[来源:学科网ZXXK] 圆柱的侧面积为：2×π×3=6π， 半球面面积为：×4×=2π，[来源:学§科§网] 故该几何体的表面积S=π+6π+2π=9π， 故选C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键． 9. 已知，则向量在向量上的投影为 A．       B．           C．         D． 参考答案： C 10. 给定两个命题,的必要而不充分条件,则 的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ＝_______________. 参考答案： 略 12. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x的负半轴按逆时针方向 滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，否 则在区间[-2，1]上的解析式是       。 参考答案：               略 13. 植树节来临，某学校数学活动小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在处,其中,当时, 其中表示非负实数的整数部分,如.按此方案,第2011棵树种植点的坐标是              . 参考答案： (1,202) 略 14. 已知两个单位向量与的夹角为，若（）（），则         . 参考答案： -1或1 15. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为________辆. 参考答案： 76 16. （4分）（2015?上海模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1，公比为q，前n项和为Sn，若，则公比为q的取值范围是　　． 参考答案： （0，1] 【考点】： 数列的极限． 【专题】： 计算题． 【分析】： 根据等比数列的前n项和公式Sn，Sn+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案． 解：当q=1的情况，Sn+1=（n+1）a1，所以成立， 当q≠1是的情况，，所以 可以看出当q为小于1的分数的时候成立， 故答案为（0，1]． 【点评】： 本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量． 17. 设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是             ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1﹣，x∈R （1）当a=2，求f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程； （2）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）把a=2代入函数解析式，求出导函数，得到f（0）=0及f′（0）=﹣1，代入直线方程的点斜式得答案； （2）求出原函数的导函数，利用二次导数可得：当a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立；当a＞1时，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，则f（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，可得当x∈[0，x0）时，f（x）＜f（0）=0，不合题意，综合可得实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=2时，， ∴f（0）=0，则f′（x）=ex﹣2﹣x，f′（0）=﹣1， ∴所求切线方程为y=﹣x； （2）f′（x）=ex﹣x﹣a， 令h（x）=f′（x）=ex﹣x﹣a， 则h′（x）=ex﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，则f′（x）单调递增，f′（x）≥f′（0）=1﹣a， 当a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立； 当a＞1时，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，则f（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 则当x∈[0，x0）时，f（x）＜f（0）=0，不合题意， 综上，则实数a的取值范围为（﹣∞，1]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题． 19. 已知是方程的两个不等实根，函数 的定义域为.(1)判断函数在定义域内的单调性，并证明. (2)记:，若对任意，恒有成立，求实数a 的取值范围. 参考答案： (1)证法一：设 则 又, ,故在区间上是增函数. 证法二: (1)  当故在区间上是增函数. (2)恒成立.  . 20. 已知抛物线C：x2=2y的焦点为F． （Ⅰ）设抛物线上任一点P（m，n）．求证：以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n； （Ⅱ）若过动点M（x0，0）（x0≠0）的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由x2=2y得y=x2，则y′=x，由导数的几何意义求出以P为切点的切线的斜率，代入点斜式方程化简，把点P（m，n）代入抛物线的方程，得到n与m的关系，再代入切线方程化简即可； （Ⅱ）判断直线MF与直线l垂直，由切线l方程和题意求出M的坐标，由斜率公式求出kMF，根据斜率之积是﹣1，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x2=2y得，y=x2，则y′=x， ∴在点P（m，n）切线的斜率k=m， ∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m2， 又点P（m，n）是抛物线上一点， ∴m2=2n， ∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n  … （Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直． 由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n， ∴切线l的斜率k=m，点M（，0）， 又点F（0，）， 此时，kMF==== … ∴k?kMF=m×（）=﹣1， ∴直线MF⊥直线l          … 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题． 21. 已知函数  (其中).若为的极值点． 解不等式． 参考答案： 因为， 所以              ………………………………………………1分 因为为的极值点,所以由,解得 检验,当时,,当时,,当时,. 所以为的极值点,故  ……………………………………………………………2分 当时, 不等式, 整理得, 即或          ………………………………6分 令,,, 当时,；当时,, 所以在单调递减,在单调递增,所以, 即,所以在上单调递增,而； 故；, 所以原不等式的解集为；           …………………………………………10分 22. （本题满分12分）已知方程。 （1）若是它的一个根，求k的值； （2）若，求满足方程的所有虚数的和。 参考答案： （1）   （2）190