云南省昆明市寻甸县塘子镇中学高三数学文上学期期末试题含解析

云南省昆明市寻甸县塘子镇中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线与圆相切，其中，且，则满足条件的有序实数对共有的个数为                          (     ). （A）1           （B）2          （C）3           （D）4 参考答案： D 2. 如图所示，一游泳者自游泳池边上的点，沿方向游了10米,,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池边的概率是 A．           B．            C．            D． 参考答案： A 3. 设函数 f(x)=cos(x+φ)，其中常数φ满足－π＜φ＜0．若函数g(x)= f(x)+ f ′(x)（其中f ′(x)是函数f(x)的导数）是偶函数，则φ等于（        ） A.            B.        C.             D. 参考答案： A ∵， ∴， ∴． ∵函数为偶函数， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A．   4. 设集合                                                  （    ）          A．（1，+）             B．                    C．（0，+）             D． 参考答案： 答案：B 5. 如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入(     ) A．k＜132？ B．k＜70？ C．k＜64？ D．k＜63？ 参考答案： B 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K的值，当K=64时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S=2×4×8×32×64，结合选项可知，判断框内可以填入k＜70？ 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 S=1，K=2，满足条件，S=2，K=4 满足条件，S=2×4，K=8 满足条件，S=2×4×8，K=16 满足条件，S=2×4×8×32，K=32 满足条件，S=2×4×8×32×64，K=64 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S=2×4×8×32×64， 结合选项可知，判断框内可以填入k＜70？ 故选：B． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，当K=64时，由题意结合选项判断退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查． 6. 已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的 A．必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 7. 在的二项展开式中，的系数为（     ）    A．-120             B．120             C．-15              D．15 参考答案： C 略 8. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案. 【详解】如下图所示： 当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A. 9. 已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为 （    ） A．         B．      C.        D． 参考答案： C 10. 已知向量，若，则与的夹角 A．30°                   B．60°                       C．120°                     D．150° 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1的图象过原点，则不等式的解集为　    　． 参考答案： （0，+∞） 【考点】导数的运算． 【分析】构造函数g（x）=，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】解：设g（x）=（x∈R）， 则g′（x）=， ∵f′（x）＜f（x）， ∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0， ∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1 ∵y=f（x）﹣1的图象过原点， ∴f（0）=1 又∵g（0）==1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故答案为（0，+∞） 【点评】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 　 12. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为          ． 参考答案： 1 考点：与圆有关的比例线段． 专题：直线与圆． 分析：连接OD，BC，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可； 解答： 解：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE．又AE⊥DE， ∴DE⊥OD．而OD为半径， ∴DE是⊙O的切线； 连接BC，交OD于G，AB是圆的直径，所以AC⊥BC， 所以四边形CEDG是矩形， ∵OD∥AE，O是AB中点， ∴G是BC中点，∴CG=DE=BC=3， ∴BG=3，OG=4， ∴DG=1，所以CE=1； 故答案为：1． 点评：本题考查了圆周角定理以及切线的判断、矩形的判断等知识点；比较综合，但难度不大． 13. 已知为锐角，则___________ 参考答案： 【分析】 先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可. 【详解】解：为锐角， 则为钝角，则， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题. 14. ,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为    ▲    ． 参考答案： 15. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 参考答案： 16. 使不等式（其中）成立的的取值范围是  　   ． 参考答案： 17. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9，数列{bn}的前n项和Sn=bn+． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{bn}的通项公式， （Ⅱ）由错位相减求和法求出数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d=（a5﹣a3）=2， 又∵a3=5， ∴a1=1， ∴an=2n﹣1， 当n=1时，S1=b1+， ∴b1=1， 当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=bn﹣bn﹣1， ∴bn=﹣2bn﹣1， 即数列{bn}是首项为1，公比为﹣2的等比数列， ∴bn=（﹣2）n﹣1， （Ⅱ）cn=an?|bn|=（2n﹣1）?2n﹣1， ∴Tn=1×1+3×21+5×22+…+（2n﹣3）?2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1， 则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）2n， 相减，﹣Tn=1+2（22+23+…+?2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n=1+2×﹣（2n﹣1）2n=1+2n﹣1﹣4﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n， ∴Tn=（2n﹣3）?2n+3． 【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用． 19. 设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（－1，f（－1））处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)= 的单调区间. 参考答案： (Ⅰ)因为  又因为曲线通过点（0，2a+3）,  故  又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故  即-2a+b=0,因此b=2a.     (Ⅱ)由(Ⅰ)得  故当时，取得最小值-.  此时有  从而    所以  令，解得  当  当  当 由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）、（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. 略 20. （本小题12分）已知函数，． （1）若且，试讨论的单调性； （2）若对，总使得成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）= 当时，的增区间为，减区间为 当时，在单减 当时，的增区间为，减区间为； （2）对都成立，即在内有解，即在内有解，即  令，则          ． 21. 已知函数f（x）=x3+（2+a）x2+（a﹣1）x，（a∈R）． （Ⅰ）当a=﹣2时，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）定义若函数H（x）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H（x）的中间零点，设x=t是函数g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点． （i）当t=1时，求a的取值范围； （ii）当t=a时，设x1，x2，x3是函数g（x）=（x﹣a）f′（x）的3个零点，是否存在实数b，使x1，x2，x3，b的某种排列成等差数列，若存在求出b的值，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断． 【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间； （Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围； （ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，则f（x）=x3﹣3x， f′（x）=x2﹣3，令f′（x）=0，解得：x=±， 当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（﹣，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 综上可知：当x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，f（x）单调递增， 当x∈（﹣，）时，f（x）单调递减； （Ⅱ）（i）g（x）=（x﹣t）f′（x）=（x﹣t）[x2+（a+2）x+a﹣1]， 由当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点， 令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则需要h（1）=2a+2＜0， 即a＜﹣1， ∴a的取值范围（﹣1，+∞）； （ii）假设存在b满足条件，不妨x2=a，x1＜x3， 则x1＜x2=a＜x3，则x